Final quantity

in the subsection topology of mathematics is an final quantity a subset of a topological, metric or Euclidean area X, whose complement X is \ M an open quantity. Descriptive a quantity of M is final, if the edge of M belongs completely to M. That is equivalent to the following characteristic: Ist <math>(a_n)</math> eine Folge von Elementen aus M, die in X konvergiert, dann liegt der Grenzwert in M.

Ein einfaches Beispiel ist das Intervall [0, 1] in den reellen Zahlen. Das Komplement von [0, 1] ist die Vereinigung <math>(-\infty,0) \cup (1,\infty)</math> zweier offener Intervalle, also eine offene Menge, also ist [0, 1] eine abgeschlossene Menge. Deshalb nennt man das Intervall [0, 1] ein abgeschlossenes Intervall. Dagegen ist das Intervall (0, 1] nicht abgeschlossen, denn das Komplement <math>(-\infty,0] \cup (1,\infty)</math> ist nicht offen.

Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die Menge der rationalen Zahlen x mit <math>0\leq x\leq 1</math> bildet eine abgeschlossene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.

Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist dagegen stets abgeschlossen.

Beachte, dass der Begriff "offene Menge" nicht das Gegenteil von "abgeschlossene Menge" ist. Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie das Intervall (0, 1], und Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. (Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen Menge bezeichnet, seltener als abgeschloffen.)

Der Begriff der abgeschlossenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir betrachten hier den anschaulichen euklidischen Raum, den metrischen Raum und den topologischen Raum.

Euklidischer Raum

Definition

Ist U eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums Rⁿ, dann nennt man U abgeschlossen, falls gilt:

Für jedes x des Rⁿ außerhalb von U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so dass jeder Punkt y des Rⁿ, dessen Abstand zu x kleiner ist als ε, ebenfalls außerhalb von U liegt.

Erläuterung

Beachte, dass das ε vom Punkt x abhängt, d.h. für verschiedene Punkte gibt es verschiedene ε. Anschaulich ist die Menge der Punkte, deren Abstand von x kleiner ist als ε, eine Kugel, und zwar nur das Innere ohne die Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel. (Im R² ist diese Kugel das Innere eines Kreises.)

Die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Punkt x kleiner oder gleich einer positiven Zahl r ist, ist auch eine Kugel, man nennt sie abgeschlossene Kugel, da sie die Definition einer abgeschlossenen Menge erfüllt.

Eigenschaften

Ist M eine abgeschlossene Teilmenge des Rⁿ und <math>(x_n)</math> eine Folge von Elementen von M, die im Rⁿ konvergiert, dann liegt der Grenzwert von <math>(x_n)</math> ebenfalls in M. Diese Eigenschaft kann benutzt werden, um abgeschlossene Teilmengen des Rⁿ zu definieren.

Jede abgeschlossene Menge U vom Rⁿ lässt sich als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen darstellen. Zum Beispiel ist das abgeschlossene Intervall [0,1] der Durchschnitt der offenen Intervalle (-1/n, 1 + 1/n) für alle natürlichen Zahlen n.

Metrischer Raum

Definition

Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Dann nennt man U abgeschlossen, wenn gilt:

Für jedes x aus X\U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d(x,y) < ε folgt, dass y in X\U liegt.

Auch hier hängt die Wahl von ε von x ab.

Abgeschlossene Kugel

In Analogie zum euklidischen Raum nennt man die Menge der Punkte y, deren Abstand d(x,y) zu x kleiner oder gleich ε ist, eine abgeschlossene Kugel. Formal schreibt man

<math>\overline{B}(x,r) := \{ y \in X | d(x,y) \leq r \}</math>

und nennt diese Menge die abgeschlossene Kugel in X mit Mittelpunkt x und reellem Radius r>0.

Bei der abgeschlossenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen Abstand haben, der kleiner oder gleich r ist, gehören zur Kugel. (Beachte die im Artikel normierter Raum gegebenen Beispiele, dass eine Kugel bezüglich einer Metrik nicht immer "kugelförmig" bzw. "kreisförmig" ist.)

Die Definition einer abgeschlossenen Menge lässt sich nun so schreiben:

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge U von X abgeschlossen, falls gilt:

<math> \forall {x \in X\setminus U}: { \exist \varepsilon} > {0} : B(x, \varepsilon) \cap U = \emptyset</math>

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für euklidische Räume, denn jeder euklidische Raum ist ein metrischer Raum, und für euklidische Räume stimmen die Definitionen überein.

Beispiele

Betrachtet man die reellen Zahlen R mit der üblichen euklidischen Metrik, so sind die folgenden Beispiele abgeschlossene Mengen:

• Das oben genannte abgeschlossene Intervall <math>[0,1]</math>, das sind alle Zahlen zwischen 0 und 1 einschließlich. Dieses Intervall ist auch ein Beispiel für eine abgeschlossene Kugel in R: Der Mittelpunkt ist 1/2, der Radius ist 1/2.
• R selber ist abgeschlossen.
• Die leere Menge ist abgeschlossen.
• Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abgeschlossen in Q, aber nicht abgeschlossen in R.
• Das Intervall <math>[0, \pi)</math> ist nicht abgeschlossen in R (<math>\pi</math> ist die Kreiszahl Pi), die Menge aller rationalen Zahlen x mit 0 ≤ x < <math>\pi</math> ist dagegen abgeschlossen in Q.
• Endliche Mengen sind stets abgeschlossen.

Im R² kann man sich abgeschlossene Mengen vorstellen als Mengen, bei denen man den Rand hinzugefügt hat.

Eigenschaften

Abgeschlossene Kugeln sind abgeschlossene Mengen

Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge. Der Beweis dazu wird von nebenstehender Abbildung veranschaulicht: Zum Punkt y₂ außerhalb der abgeschlossenen Kugel <math>\overline{B}</math>(x, r) findet man ein ε₂, nämlich ε₂ = d(x, y₂) - r, so dass B(y₂, ε₂) ganz außerhalb von <math>\overline{B}</math>(x, r) liegt. Analog sieht man an dieser Darstellung, dass jede offene Kugel offen ist.

Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen ist wieder eine abgeschlossene Menge. Daraus kann man folgern, dass die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist.

Die Durchschnitt beliebig vieler (also auch unendlich vieler) abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Topologischer Raum

Um abgeschlossene Mengen in einem noch allgemeineren Kontext zu definieren, muss man das Konzept der Kugel fallen lassen. Man bezieht sich stattdessen nur auf die Offenheit des Komplements.

Ist X ein topologischer Raum und U eine Teilmenge von X, dann heißt U abgeschlossen, wenn das Komplement X \ U eine offene Menge ist.

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für metrische Räume.

Abgeschlossene Hülle

Für jede Teilmenge U eines euklidischen, metrischen oder topologischen Raumes gibt es stets eine kleinste abgeschlossene Obermenge von U, diese heißt abgeschlossene Hülle von U. Sie ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von U.