Fermi distribution

the Fermi distribution indicates, with which probability a fermion an energy <math> E< /math> to given temperature <math> T< /math> has. The Fermi distribution is valid thereby only for a system from interacting with one another fermions. It results from the Fermi Dirac statistics and is designated after the physicist Enrico Fermi.

In einem System der Temperatur <math>T</math> lautet die Fermiverteilung <math>W(E)</math> wie folgt:

<math>W(E) = \frac{1}{\exp{\left(\frac{E-\mu}{k_BT}\right)}+1}</math>

Dabei ist das chemische Potenzial μ im wesentlichen durch die Teilchenzahl im System festgelegt. In der Fermi-Dirac-Statistik ist für μ auch die Bezeichnung Fermi-Energie <math>E_F</math> (oder <math>\varepsilon_F</math>) üblich, welche am absoluten Temperaturnullpunkt auch als Fermi-Niveau bezeichnet wird. Um die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus – z. B. für Elektronen in einem Metall – zu berechnen, muss die Fermiverteilung mit der Zustandsdichte <math>D(E)</math> multipliziert werden.

Fermiverteilung am absoluten Temperaturnullpunkt

Fermiverteilung für T = 0 K
Fermiverteilung für T = 0 K

Das Pauli-Prinzip besagt, dass Fermionen nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Dies hat zur Folge, dass auch am absoluten Temperaturnullpunkt Fermionen in angeregten Energiezuständen sitzen müssen. Anschaulich lässt sich das mit Vorstellung eines Fermi-Sees verstehen: Jedes hinzugefügte Fermion besetzt den tiefstmöglichen Energiezustand, welcher noch nicht von einem anderen Fermion besetzt ist. Die Fermiverteilung hat bei <math>T=0\,K</math> also eine scharfe Kante bei einer Energie, deren Höhe von der Anzahl der Fermionen in dem betrachteten System abhängt und als Fermienergie <math>E_f</math> bezeichnet wird. Ganz wichtig ist hierbei dass die Fermiverteilung nur eine Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ein Zustand besetzt wird. Ob der Zustand auch besetzt wird, hängt davon ab, ob ein entsprechender Zustand existiert. Bei einem Halbleiter existiert zur Fermienergie kein erlaubter Zustand, er kann nicht besetzt werden(verbotene Zone).

Für die Temperatur Null Kelvin (T = 0 K) gilt (siehe Abbildung rechts):

  • Alle Zustände unter der Fermienergie <math>E_f</math> sind mit Fermionen besetzt, da für <math>E < E_f</math> gilt: <math>W(E)=1</math>, d. h. Wahrscheinlichkeit, ein Fermion anzutreffen ist Eins.
  • Zustände oberhalb der Fermienergie sind nicht von Fermionen besetzt, da für <math>E > E_f</math> gilt: <math>W(E)=0</math>, die Wahrscheinlichkeit ein Fermion anzutreffen also Null ist.
  • Das elektrochemische Potenzial des Systems entspricht der Fermienergie.

Die Temperatur, bei der die thermische Energie <math>k_BT</math> der Fermienergie enspräche, wird als Fermitemperatur <math>T_F</math> bezeichnet. Diese Begriffsbildung dient nur dem Charakterisieren einer Temperaturskala (s. u.) und hat nichts mit der realen Temperatur der Fermionen zu tun.

Fermiverteilung bei endlichen Temperaturen

Fermiverteilung für T = 1.200 K
Fermiverteilung für T = 1.200 K

Bei endlichen Temperaturen (<math>T>0</math> K; siehe Abbildung links) werden auch Zustände oberhalb der Fermienergie <math>E_f</math> mit Fermionen besetzt, dafür bleiben gleich viele Zustände unterhalb der Fermienergie leer. Die Fermiverteilung lässt sich dabei im Bereich für sehr hohe Energien <math>E\gg E_f</math> – ebenso wie die Bose-Einstein-Verteilung für Bosonen – durch die Boltzmann-Verteilung

<math>W(E)\approx \exp{\left(-\frac{E}{k_BT}\right)}</math>

nähern.

Ist die Temperatur größer als die Fermitemperatur, so sind alle Fermionen angeregt und obige Näherung gilt für den gesamten Energiebereich. In Metallen liegt die Fermienergie jedoch in der Größenordnung einiger Elektronenvolt entsprechend einer Fermitemperatur von ungefähr 10.000 K. Dies hat zur Folge, dass auch bei Zimmertemperatur der Einfluss der Temperatur vernachlässigbar ist, bzw. nur störungstheoretisch berücksichtigt werden muss. In diesem Fall spricht man von einem entarteten Elektronengas.

Bedeutung

In Festkörpern kann die Fermiverteilung mittels Experimenten, die die elektronische Besetzungsdichte messen, sehr gut beobachtet und ausgewertet werden. Mit solchen Studien lässt sich das Auflösungsvermögen einer Messaparatur bestimmen, indem man den Verlauf der Fermiverteilung bei einer bestimmten Temperatur misst und mit der Fermiverteilung vergleicht.

Genauso verringert die Fermiverteilung das Auflösungsvermögen bei endlichen Temperaturen. Unter der Annahme, dass sich die Fermiverteilung bei einer bestimmten Temperatur als die Faltung einer Stufenfunktion und einer Gaussverteilung einer bestimmten Breite näherungsweise beschreiben lässt, entsprechen 1 K etwa 0,34 meV. Das Auflösungsvermögen einer Apparatur, die Effekte misst, bei denen die Verteilung der Elektronen in unmittelbarer Umgebung der Fermienergie eine Rolle spielt, ist bei Raumtemperatur somit auf 100 meV begrenzt.

 

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