Surd
a surd is a real number, which is not a rational number. The term reason is used thereby in the meaning relationship, not in the meaning reason. Eine irrationale Zahl ist also nicht "unvernünftig", wie der Alltagsgebrauch des Wortes irrational nahelegen würde, sondern sie ist "kein Verhältnis" (von ganzen Zahlen).
Definition
Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (d.h. nicht als <math> \frac{p}{q} </math> mit <math>p, q \in\mathbb{Z}</math> und <math>q\neq0</math>).
Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.
Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:
- Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B. <math>\sqrt{2}</math>, <math>1+\sqrt[3]{5}</math>) und
- Transzendente Zahlen (die Kreiszahl π = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...).
Den Begriff der irrationalen Zahl führten die alten Griechen ein. Hippasus aus Metapontum, ein Schüler des Pythagoras soll auf Befehl von Pythagoras ertränkt worden sein, nachdem Hippasus die Existenz irrationaler Zahlen (die Wurzel 2) festgestellt hatte. Definitionen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, gaben zuerst Georg Cantor und Richard Dedekind an.
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Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist
- Euklid bewies die Irrationalität von <math>\sqrt{2}</math> (zum Beweis siehe hier).
- 1761 bewies Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von <math>\pi</math>
- Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von
- <math>\zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}.</math>
- Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl <math>e</math>
- <math> e^{\pi} </math> ist transzendent.
Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist
Ob die Zahlen π + e und π - e irrational sind ist noch unbekannt. (Allerdings weiß man, dass mindestens eine dieser beiden irrational sein muss.)
Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von Null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Es ist ebenfalls unbekannt, ob 2e, πe, π√2, ππ, ee oder die Eulersche Konstante γ = 0,57721... irrational sind.
Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen
Die irrationalen Zahlen sind im Gegensatz zu den rationalen Zahlen überabzählbar. Grob gesagt heißt dies: wenn man jeder natürlichen Zahl eine irrationale Zahl zuordnet, gibt es noch immer unendlich viele irrationale Zahlen, die keiner natürlichen Zahl zugeordnet sind. Dies ist bei den rationalen Zahlen nicht der Fall, siehe Cantors erstes Diagonalargument. Zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument.
Streng genommen wird dort die Überabzählbarkeit von R bewiesen. Da R sich nun disjunkt in die rationalen und die irrationalen Zahlen zerlegen lässt, die rationalen Zahlen aber „nur“ abzählbar unendlich sind, müssen die irrationalen Zahlen überabzählbar sein.
Es lässt sich allerdings zeigen, dass auch die algebraischen Zahlen, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar sind. Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen liegt also allein an den transzendenten Zahlen.
