Angle (geometry)

the angle is an object of geometry. With an angle one can measure, how two straight lines or two levels cut themselves.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen)

Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen.

Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel.

Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels.

Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht durch eine Drehung zweier Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses deutlich und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) folgt daraus sofort. Bei drei Dimensionen gilt das analoge: die Drehung zweier Ebenen, die sich in einer Schnittlinie schneiden.

Da es zwei Möglichkeiten gibt die Geraden oder Ebenen zu drehen und deshalb auch zwei Winkel entstehen, sollte zusätzlich die Drehrichtung angeben werden.

  • Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch math. Positiver Drehsinn genannt.
  • Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch math. Negativer Drehsinn genannt.

In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeiger, also im math. positiven Drehsinn zu wählen. Wenn die Drehung anders herum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden.

Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet. Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC oder <math>\angle ABC</math>

Arten von Winkeln

spitzer Winkel
kleiner ¼ Vollwinkel: (0°, 90°) = (0g, 100g) = (0, ½·π);
rechter Winkel
gleich ¼ Vollwinkel: 90° = 100g = ½·π;
stumpfer Winkel
größer ¼ und kleiner ½ Vollwinkel: (90°, 180°) = (100g, 200g) = (½·π, π);
gestreckter Winkel
gleich ½ Vollwinkel: 180° = 200g = π;
überstumpfer Winkel
größer ½ und kleiner 1 Vollwinkel: (180°, 360°) = (200g, 400g) = (π, 2·π);
Vollwinkel
360° = 400g = 2·π.

Rechter Winkel

Einen 90°-Winkel bezeichnet man auch als rechten Winkel.

Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind.

Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal.

In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

verschiedene Arten einen rechten Winkel zu zeichnen

Vollwinkel

Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen für die physikalische Größe ebener Winkel. Die Einheit Vollwinkel besitzt kein Einheitenzeichen. Dezimale Vielfache oder Teile dürfen nicht mit SI-Vorsätzen gebildet werden.

Beziehungen: 1 Vollwinkel = 360° = 2 <math>\pi</math> rad

Historisches

Es ist versucht worden, durch Normung für den Vollwinkel das Einheitenzeichen "pla" (von lateinisch: plenus angulus) einzuführen, doch ist dieser Versuch im Entwurfsstadium stecken geblieben. Früher war auch der "rechte Winkel" bzw. "Rechter" eine gesetzliche Einheit.

Gebräuchliche Winkelmaße

  • Grad (Einheit, dargestellt als °, entweder dezimal unterteilt oder in Minuten und Sekunden)
    • Rechter Winkel = 90°
    • Vollwinkel = 360°
  • Radiant (Einheitenzeichen: rad), siehe auch unter : Arcus und Bogenmaß
    • Rechter Winkel = <math>\frac{\pi}{2}</math> rad
    • Vollwinkel = 2π rad
  • Gon (veraltete Bezeichnung Neugrad) (Einheit dargestellt als gon)
    • Rechter Winkel = 100 gon
    • Vollwinkel = 400 gon
  • Vollwinkel (besitzt kein Einheitenzeichen)
    • 90° = 0,25 Vollwinkel
  • Zeitmaß – in der Astronomie zur Angabe mancher Polarkoordinaten
  • Strich
    • nautisch: Vollwinkel = 32¯
    • militärisch: Vollwinkel = 6400 mil

Umrechnung (Winkelgrad - Bogenmaß):

Winkelgrad = <math>\frac{180}{\pi}\cdot</math> Bogenmaß z. B. Bogenmaß = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3,14 ≈ 57,3 Grad

Spezielle Winkelpaare

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Komplement- oder Komplementärwinkel
Supplement- oder Ergänzungswinkel

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.

Scheitelwinkel
Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel.

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.
Nachbar- oder E-Winkel

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei weitere parallele Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so bezeichnet man die Winkel <math>\angle(g,h)</math> und <math>\angle(g,h')</math>, die auf der selben Seite von <math>g</math> aber auf unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> und <math>h'</math> liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°.

Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel <math>\angle(g,h)</math> und <math>\angle(g,h')</math>, die auf der selben Seite von <math>g</math> aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> und <math>h'</math> liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die folgenden Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Stufen- oder F-Winkel

Stufenwinkel oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei parallele Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so heißen die Winkel <math>\angle(g,h)</math> und <math>\angle(g,h')</math>, die auf der selben Seite von <math>g</math> und beide entweder ober- oder unterhalb von <math>h</math> bzw. <math>h'</math> liegenheißen , Stufen- oder F-Winkel.

Stufenwinkel sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf der selben Seite von <math>g</math> und jeweils ober- oder unterhalb von <math>h</math> und <math>h'</math> gleich groß sind, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

Wechsel- oder Z-Winkel

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade <math>g</math> zwei parallele Geraden <math>h</math> und <math>h'</math>, so heißen die Winkel <math>\angle(g,h)</math> und <math>\angle(g,h')</math>, die auf unterschiedlichen Seiten von <math>g</math> und unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> bzw. <math>h'</math> liegen, Wechsel- oder Z-Winkel.

Wechselwinkel sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar <math>h</math>, <math>h'</math> von einer weiteren Geraden <math>g</math> so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von <math>g</math> und unterschiedlichen Seiten von <math>h</math> bzw. <math>h'</math> gleich groß sind, so sind die Geraden <math>h</math> und <math>h'</math> parallel.

Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln a)
Winkel mit paarweise rechtwinklingen Schenkeln b)

Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln

Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind entweder gleich groß a), oder ergänzen sich zu 180° b). Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen.

Die Aussage, jeder Winkel kann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal gedrittelt werden, gilt im Allgemeinen nicht!

Konstruktion des 90-Grad-Winkels (oder rechten Winkels)

Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke.

Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte. Falls der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist, so muss diese ein Stück verlängert werden.

Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel, steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden, gegenüberliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlängerten) Strecke.

Nun bestimme man die Schnittpunkte zweier gleich großer, sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinde diese Schnittpunkte durch eine Gerade.

Konstruktion: Man nehme einen beliebig größeren Abstand in den Zirkel als eben, steche jeweils an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweils einen Kreis. Nun verbinde man die beiden so entstanden, neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal. Diese Verbindungslinie schneidet die gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt.

Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es reicht jeweils einen Bogenabschnitt zu ziehen, auf dem der Schnittpunkt liegt. Die Schnittpunkte liegen genau über (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke.

Daumenregel fürs Zeichnen: Je größer die Abstände und je größer der Unterschied zwischen den Abständen, desto genauer wird es.

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)

Man halbiert eine gegebene Strecke, in dem man Kreise, deren Radius größer ist als die Hälfte der Strecke, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die beide Kreise miteinander haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel. Infolgedessen wurde eine Mittelsenkrechte konstruiert.

Konstruktion eines 60-Grad-Winkels

Man konstruiert um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und trägt ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis selbst ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen 60 Grad Winkel ein.

Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Den Abstand behalte man im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis. Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal.

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleichgroße Winkel von je 60 Grad. Muss man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon))

Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Zirkel ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck. Dies liegt daran, dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad betragen. 6x60 Grad = 360 Grad, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.

Konstruktion eines 72- oder 54-Grad-Winkels

Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln

Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv addieren. Hierfür sticht man in den Punkt beim zu addierenden Winkel ein und schlägt einen Bogen, so dass er die Schenkel des Winkels schneidet. Der Radius des Bogens muss im Zirkel behalten werden; man schlägt nun einen Kreis (oder je nach Winkelgröße auch nur einen abzuschätzenden Bogen) um den Punkt bei dem Winkel, zu dem man addieren möchte, so dass dieser einen Schenkel ebendieses Winkels schneidet. Daraufhin sticht man in den Schnittpunkt des Bogens mit einem der Schenkel des zu addierenden Winkels ein und spannt diesen bis zum anderen Schenkel. Dieser Abstand wird wieder beibehalten, man schlägt nun einen Kreis um den Schnittpunkt des Bogens mit dem Schenkel des Winkels, zu dem man addieren möchte. Der Schnittpunkt der beiden Bögen wird mit dem Punkt beim Winkel, zu dem man addieren möchte, verbunden, und erhält so die Summe der beiden Ausgangswinkel.

Ebenso verhält es sich mit der Subtraktion eines Winkels, nur dass hierbei der Winkel eben nicht an den Winkel zusätzlich angetragen wird, sondern so, dass der neue Schenkel zwischen die Ausgangsschenkel des Winkels, von dem man subtrahieren möchte, liegt.

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleichgroße Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende.

Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Folgerung

Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen.

Winkelmessung

Trivia

Es ist den meisten Menschen nicht mehr so bewusst, aber wenn man sich aufmerksam umblickt, wird man feststellen, dass viele Dinge in der vom Mensch gemachten Umgebung rechtwinklig sind.

Weblinks

 

  > German to English > de.wikipedia.org (Machine translated into English)