Trajectory parabola

as trajectory parabola one designates the flight path, which a thrown body describes, if one neglects the influence of air resistance (i.e. with low speeds and compact bodies). The vertex of the parabola is thereby at the highest point of the flight path, the parabola is downward opened.

Inhaltsverzeichnis

Erklärung

Grund für die Parabelform ist die Tatsache, dass während des Fluges nur die Schwerkraft auf den Körper einwirkt, aber nur auf die vertikale Geschwindigkeitskomponente. Das hat folgende Konsequenzen:

  • In horizontaler Richtung fliegt der Körper nach dem ersten Newtonschen Gesetz mit konstanter Geschwindigkeit dahin, da in dieser Richtung keine Kraft auf ihn wirkt; bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich die Entfernung linear mit der Zeit (da die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ist).
  • In vertikaler Richtung bewirkt die Schwerkraft eine konstante Beschleunigung, nämlich die Erdbeschleunigung. Die Geschwindigkeit nimmt linear mit der Zeit zu, d.h. die vertikale Entfernung nimmt quadratisch mit der Zeit zu.

Zusammengenommen ergibt sich daraus, dass die vertikale Entfernung im Vergleich zur horizontalen Entfernung quadratisch wächst, was eine Parabelform ergibt. Dabei ist es irrelevant, welche Anfangsgeschwindigkeit der Körper hatte, denn die Form der Flugbahn wird von der relativen Veränderung der Geschwindigkeitskomponenten bestimmt; die horizontale Geschwindigkeit bestimmt nur die horizontale Stauchung oder Streckung der Parabel. Ebenso spielt der Winkel, unter dem der Körper geworfen wurde, keine Rolle für die Parabelform – der Startpunkt befindet sich dann nur auf unterschiedlichen Punkten der selben Parabel (z.B. waagerechter Wurf: Startpunkt ist Scheitel der Parabel).

Mathematische Beschreibung

Der Körper werde mit einer Geschwindigkeit <math>v_{0}</math> unter dem Winkel <math>\beta</math> schräg nach oben geworfen. Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten, aus denen die Abwurfgeschwindigkeit durch lineare Superposition zusammengesetzt ist (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes):

  • horizontal: horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit

<math>x(t) = v_{0} \, t \cdot \cos\beta</math>

  • vertikal: vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit plus Geschwindigkeitsänderung durch konstante Beschleunigung

<math>y(t) = v_{0} \, t \cdot \sin\beta -\frac12 g \,t^2</math>

Die vektorielle Bahngleichung lautet dann:
<math> \vec{r}(t)=(x(t) \,,\, y(t) ) = (v_{0} \, t \cdot \cos\beta \,,\, v_{0} \, t \cdot\sin \beta -\frac12 g \,t^2) </math>

Die explizite Bahngleichung im Ortsraum (auflösen nach <math>t</math> und einsetzen) lautet:
<math>y(x)=\tan\beta\cdot x-\frac{g}{2{v_0}^2\cdot \cos^2\beta}x^2</math>

(Bedeutung der weiteren Variablen: <math>t</math> ist die Zeit, <math>g</math> ist die Erdbeschleunigung)

Reichweite

Wenn der Körper seine maximale Reichweite <math>R</math> erreicht hat liegt er am Boden, d.h. <math>y(R)=0</math>. Nun kann man die Bewegungsgleichung nach <math>R</math> auflösen und erhält:

<math>R = \frac{{v_0}^2}{g}\sin(2 \cdot \beta)</math>

Maximale Weite

Da die Sinusfunktion bei 90° ihren größten Wert (sin(90°)=1) hat, erreicht man die größte Reichweite bei <math>\beta = 45^\circ</math>

Scheitel

Der Scheitelpunkt wird erreicht, wenn die vertikale Geschwindigkeitskomponente ihren Nulldurchgang hat, d.h. wenn sich eine zuerst nach oben gerichtete Bewegung umkehrt in eine nach unten gerichtete Bewegung. Wenn der Wurf nach oben gerichtet war, dann ist die Erdbeschleunigung entgegengesetzt zur vertikalen Bewegungsrichtung des Körpers und wirkt dann nicht beschleunigend, sondern verzögernd, bis sie ihn auf Null abgebremst hat und anschließend nach unten weiter beschleunigt. Im Scheitelpunkt wurde also die gesamte kinetische Energie (in vertikaler Richtung) umgesetzt in potenzielle Energie.

Den Scheitel kann man berechnen, da der Wurf eine Parabelform hat, und der Scheitel somit zwischen den Nullstellen 0 und R liegt. Der Scheitel hat also die x-Koordinate <math>\frac{1}{2} \cdot R</math>. Die y-Koordinate erhält man durch die Bewegungsgleichung.

Aufgelöst, hat der Scheitel folgende Koordinaten:

<math>x_S = \sin (2\beta) \cdot \frac{v_0^2}{2g}</math>

<math>y_S = \sin^2 (\beta) \cdot \frac{v_0^2}{2g}</math>

Erläuterung an einem Beispiel

Wurfparabel mit Höhen- und Zeitskala  (Wurf mit ~45 m/s unter 63°, Aufprall ohne Atmosphäre nach 8 Sekunden).
Wurfparabel mit Höhen- und Zeitskala (Wurf mit ~45 m/s unter 63°, Aufprall ohne Atmosphäre nach 8 Sekunden).

Wäre weder Gravitation noch Luftwiderstand vorhanden, würde der Körper in der anfänglichen Richtung und Geschwindigkeit (roter Pfeil) weiterfliegen (Trägheitsprinzip).

Das Erdschwerefeld lenkt den Körper jedoch nach unten ab – und zwar mit der Zeit <math>t</math> quadratisch zunehmend:

  • Nach 1 Sekunde liegt die tatsächliche Flugbahn um knapp 5 Meter tiefer als die Tangente am Ausgangspunkt (Abwurfpunkt),
  • nach 2 Sekunden um das 4-fache (etwa 20 Meter),
  • nach 3 Sekunden 45 Meter, nach 4s 80 m usw. (Schwerebeschleunigung von 9,81 auf 10 m/s² gerundet).

Abweichungen von der idealen Parabelform

In der Praxis weicht die Flugbahn von der Parabelform ab; dafür gibt es zwei Gründe, erstens der Luftwiderstand und zweitens die Inhomogenität des Schwerefeldes.

  • Luftwiderstand: Die Atmosphäre wirkt bremsend; die Abweichung ist umso stärker, je höher die Geschwindigkeit ist – denn der Luftwiderstand nimmt mit <math>v^2</math> zu, die Bahnkrümmung (d.h. die horizonale Streckung der Parabel durch höhere horizontale Geschwindigkeit) aber nur mit <math>v</math> ab. Die absteigende Kurve wird deutlicher gekürzt als die aufsteigende und verläuft daher steiler. Die maximale Wurfweite wird theoretisch bei <math>\beta = 45^\circ</math> erreicht, ändert sich aber unter Lufteinfluss.
  • Inhomogenität des Schwerefelds
    • Kugelform der Erde: Die Lotlinien sind nicht parallel, sondern laufen im Erdzentrum zusammen. Daher würde auch im Vakuum keine Parabel resultieren, sondern eine Keplerellipse mit dem Brennpunkt im Geozentrum. Der Unterschied zur Parabel ist zwar bei üblichen Anwendungen nur im mm-Bereich, wächst bei Raketen aber auf Kilometer an.
    • Lokale Variationen der Erdbeschleunigung: Für Abweichungen der Erdbeschleunigung vom Schwerefeld einer idealen Kugel sorgen die Zentrifugalkraft der Erdrotation, die Erdabplattung (welche letztendlich eine Folge dieser Zentrifugalkraft ist), das Höhenprofil (Gebirge = große Masse) und die Massenverteilung im Untergrund (siehe Gravimetrie). Beispielsweise beträgt die Erdbeschleunigung am Äquator <math>9{,}780 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>, an den Polen jedoch <math>9{,}832 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>. Findet der Wurf komplett in einem Bereich statt, in dem man die Erdbeschleunigung als konstant annehmen kann, wird die Parabelform (bzw. Ellipsenform) zwar beibehalten, jedoch wird die Parabel durch eine geringere Erdbeschleunigung weiter und durch eine höhere Erdbeschleunigung enger. Ansonsten ergeben sich Abweichungen von der Parabelform.
  • Zeitliche Variationen der Erdbeschleunigung: Die Gezeiten entsprechen ebenfalls einer Veränderung der Erdbeschleunigung.

Weblinks

Siehe auch

 

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