Υπερβολική γεωμετρία

A triangle immersed in a saddle-shape plane (an hyperbolic paraboloid), as well as two diverging parallel lines.
Ένα τρίγωνο που βυθίζεται σε ένα αεροπλάνο σέλα-μορφής ( υπερβολικός παραβολοειδής), όπως και δύο αποκλίνουσες παράλληλες γραμμές.

Υπερβολική γεωμετρία είναι α μη-εuθληδεαν γεωμετρία, σημαίνοντας ότι παράλληλο αξίωμα Euclidean γεωμετρία δεν κρατά. Συγκεκριμένα, στην euclidean γεωμετρία, λαμβάνοντας υπόψη μια γραμμή λ και ένα σημείο π όχι στο λ, υπάρχει μια μοναδική γραμμή μέσω του π που δεν κόβει το λ. Στην υπερβολική γεωμετρία, υπάρχουν απείρως πολλές τέτοιες γραμμές παράλληλες στο λ.

Περιεχόμενο

Ιστορία

Η υπερβολική γεωμετρία εξερευνήθηκε αρχικά κοντά Θ*Γηοβαννη Gerolamo Saccheri 1700s, ποιος εντούτοις εθεώρησε ότι ήταν ασυμβίβαστος, και αργότερα κοντά Jαnos Bolyai, Θ*Καρλ Friedrich Gauss, και Nikolai Ivanovich Lobachevsky, μετά από ποιοι ονομάζεται μερικές φορές. (Δείτε το άρθρο επάνω μη-εuθληδεαν γεωμετρία για περισσότερη ιστορία.)

Υπερβολική γεωμετρία (επίσης αποκαλούμενος γεωμετρία σελών ή Γεωμετρία Lobachevskian) ο όρος παράλληλος μόνο ισχύει για τις γραμμές που δεν κόβουν στο υπερβολικό αεροπλάνο αλλά κόβουν στον κύκλο στο άπειρο. Οι γραμμές που ούτε κόβουν στο υπερβολικό αεροπλάνο ούτε τον κύκλο στο άπειρο καλούνται ultraparallel. Μια αξιοπρόσεκτη ιδιοκτησία του υπερβολικού αεροπλάνου είναι ότι υπάρχει μοναδικός ένας κοινός κάθετος για κάθε ζευγάρι των γραμμών ultraparallel (δείτε Θεώρημα Ultraparallel).

Η υπερβολική γεωμετρία έχει πολλές ιδιότητες ξένες Euclidean γεωμετρία, που είναι συνέπειες του υπερβολικού αξιώματος.

Πρότυπα του υπερβολικού αεροπλάνου

Υπάρχουν τέσσερα πρότυπα συνήθως χρησιμοποιημένος για την υπερβολική γεωμετρία: το πρότυπο Klein, το πρότυπο δίσκων Poincarι, Πρότυπο μισό-αεροπλάνων Poincarι και το πρότυπο Lorentz.

Klein πρότυπο, επίσης γνωστός ως προβολικό πρότυπο δίσκων και Beltrami- Πρότυπο Klein, χρησιμοποιεί το εσωτερικό ενός κύκλου για τον υπερβολικό αεροπλάνο, και χορδές από τον κύκλο ως γραμμές. Αυτό το πρότυπο έχει το πλεονέκτημα της απλότητας, αλλά το μειονέκτημα αυτό γωνίες στο υπερβολικό αεροπλάνο είναι διαστρεβλωμένος.

Poincarι πρότυπο δίσκων, επίσης γνωστός ως σύμμορφο πρότυπο δίσκων, επίσης υιοθετεί το εσωτερικό ενός κύκλου, αλλά οι γραμμές αντιπροσωπεύονται από τα τόξα των κύκλων που είναι ορθογώνιος στον κύκλο ορίου, συν τις διαμέτρους του κύκλου ορίου. Πρότυπο μισό-αεροπλάνων Poincarι παίρνει το μισό του euclidean αεροπλάνου, όπως καθορίζεται από μια euclidean γραμμή Β, για να είναι το υπερβολικό αεροπλάνο (Β ο ίδιος δεν συμπεριλαμβάνεται). Οι υπερβολικές γραμμές είναι έπειτα καθένας μισό-κύκλοι ορθογώνιοι Β ή κάθετος ακτίνων Β.

Και τα δύο πρότυπα Poincarι συντηρούν τις υπερβολικές γωνίες, και είναι με αυτόν τον τρόπο σύμμορφος. Όλα τα isometries μέσα σε αυτά τα πρότυπα είναι επομένως Μετασχηματισμοί Mφbius.

Ένα τρίτο πρότυπο είναι Πρότυπο Lorentz ή πρότυπο hyperboloid, όποιος υιοθετεί έναν 2-διαστατικό hyperboloid από την επανάσταση (δύο φύλλων, αλλά χρησιμοποιώντας ένας) που ενσωματώνεται σε 3-διαστατικό Διάστημα Minkowski. Αυτό το πρότυπο πιστώνεται γενικά σε Poincarι, αλλά ο Ρέυνολντς (δείτε κατωτέρω) λέει αυτού Θ*Ωηλχελμ Killing και Θ*Καρλ Weierstrass χρησιμοποίησε αυτό το πρότυπο από 1872. Κάποιος μπορεί να πάρει το hyperboloid για να αντιπροσωπεύσει τα γεγονότα σπου οι διάφοροι κινούμενοι παρατηρητές που ακτινοβολούν εξωτερικά από ένα ενιαίο σημείο θα φθάσουν σε σταθερό κατάλληλος χρόνος.

Υπάρχουν εναλλακτικοί τρόποι να οργανωθεί ένα φυσικό πρότυπο της υπερβολικής γεωμετρίας στην ειδική θεωρία Einstein της σχετικότητας. Παραδείγματος χάριν, οργανώστε ένα πολικό ισότιμο σύστημα στο υπερβολικό αεροπλάνο. Κατόπιν οποιοδήποτε σημείο μπορεί να προσδιοριστεί με μια ομοιόμορφη κίνηση σε ένα σχετιστικό αεροπλάνο. Το υπερβολικό σημείο (2, 30 βαθμοί), παραδείγματος χάριν, θα μπορούσε να αντιπροσωπεύσει ένα αντικείμενο που ταξιδεύει σε ένα αεροπλάνο με μια ομοιόμορφη ταχύτητα 2 στην κατεύθυνση 30 βαθμών βόρεια του πολικού άξονα. (Η ταχύτητα ενός αντικειμένου είναι το arctanh της ταχύτητάς της ως ποσοστό της ταχύτητας του φωτός. Ένα αντικείμενο που ταξιδεύει με την ταχύτητα 2, παραδείγματος χάριν, θα ήταν πηγαίνοντας tanh (2) = 96,4% της ταχύτητας του φωτός.) Η υπερβολική απόσταση μεταξύ δύο σημείων του υπερβολικού αεροπλάνου μπορεί να προσδιοριστεί με τη σχετική ταχύτητα μεταξύ δύο αντικειμένων που ταξιδεύουν στην αντίστοιχη ομοιόμορφη κίνηση στο σχετιστικό αεροπλάνο. Έτσι κάθε θεώρημα στην υπερβολική γεωμετρία μπορεί να μεταφραστεί σε μια αληθινή δήλωση στην ειδική σχετικότητα.

Απεικονίζοντας υπερβολική γεωμετρία

Το διάσημο όριο ΙΙΙ κύκλων [ 1 ] και IV [ 2 ] σχέδια Μ. Γ. Escher επεξηγήστε την έκδοση δίσκων μονάδων του προτύπου αρκετά καλά. Και σο δύο ένας μπορεί να δει γεωδαισία (σε ΙΙΙ οι άσπρες γραμμές δεν είναι γεωδαισία, αλλά τρέχουν παράλληλα με τους). Είναι επίσης δυνατό να δει αρκετά απλά ο αρνητικός κυρτότητα από το υπερβολικό αεροπλάνο, μέσω της επίδρασής του στο ποσό των γωνιών στα τρίγωνα και τα τετράγωνα.

Παραδείγματος χάριν, ΙΙΙ κάθε vertex είναι η διατομή τριών τριγώνων και τριών τετραγώνων. Στο κανονικό euclidean αεροπλάνο, αυτό θα συνόψιζε σε 450°, οδήγηση σε μια αντίφαση. Ως εκ τούτου βλέπουμε ότι το ποσό των γωνιών ενός τριγώνου στο υπερβολικό αεροπλάνο πρέπει να είναι μικρότερο από 180°. Μια άλλη ορατή ιδιοκτησία είναι το γεγονός που το υπερβολικό αεροπλάνο έχει εκθετική αύξηση. Σε IV, παραδείγματος χάριν, κάποιος μπορεί να δει ότι ο αριθμός γωνιών με μια απόσταση ν από τις κεντρικές ανόδους εκθετικά. Οι γωνίες έχουν την ίση υπερβολική περιοχή, έτσι η περιοχή μιας σφαίρας της ακτίνας ν πρέπει να αυξηθείτε εκθετικά μέσα ν.

Ένα άλλο πράγμα διασκέδασης που κάνει, όταν τα πράγματα είναι αργά στο γραφείο, είναι να κόψουν μερικά φύλλα του εγγράφου σε μερικά δωδεκάα όμοια ταξινομημένα τετράγωνα, και τους δέστε που βάζουν με ταινία μαζί πέντε τετράγωνα σε κάθε γωνία. Κατόπιν σημειώστε πώς δύο "σειρέσ" των τετραγώνων που είναι το ένα δίπλα στο άλλο στο σημείο θα αποκλίσουν έως ότου είναι αυθαίρετα μακριά χώρια.

Σχέση στις επιφάνειες Riemann

Οι δισδιάστατες υπερβολικές επιφάνειες μπορούν επίσης να γίνουν κατανοητοί σύμφωνα με τη γλώσσα Επιφάνειες Riemann. Σύμφωνα με θεώρημα uniformization, κάθε επιφάνεια Riemann είναι καθεμία ελλειπτική, παραβολικός ή υπερβολικός. Οι περισσότερες υπερβολικές επιφάνειες έχουν non-trivial θεμελιώδης ομάδα <math> \pi_1 = \Gamma< /math>, γνωστός ως Ομάδα Fuchsian. διάστημα πηλίκου Χ/; _ από ο ανώτερος μισό-αεροπλάνο μοδuλο ο θεμελιώδης ομάδα είμαι γνωστός ως ο Πρότυπο Fuchsian από την υπερβολική επιφάνεια. Μισό αεροπλάνο Poincarι είναι επίσης υπερβολικός, αλλά είναι απλά συνδεμένος και noncompact. Είναι καθολική κάλυψη από τις άλλες υπερβολικές επιφάνειες.

Η ανάλογη κατασκευή για τις τρισδιάστατες υπερβολικές επιφάνειες είναι Πρότυπο Kleinian.

Δείτε επίσης

Αναφορές

  • Ρέυνολντς, Θ*Ωηλληαμ F. (1993) "Υπερβολική γεωμετρία σε ένα Hyperboloid", Αμερικανικός μαθηματικός μηνιαίος 100:442455.
  • Stillwell, Θ*Ιοχν (1996) Πηγές στην υπερβολική γεωμετρία, τόμος 10 στο AMS/Σειρά LMS Ιστορία των μαθηματικών.

 

  > Ελληνικά > en.wikipedia.org (Μηχανή που μεταφράζεται στα ελληνικά)