Εξισώσεις Maxwell

Εξισώσεις Maxwell είναι το σύνολο τεσσάρων εξισώσεων, James Clerk Maxwell (γραπτός κοντά Oliver Heaviside), που περιγράφει τη συμπεριφορά και τα δύο ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, όπως και τις αλληλεπιδράσεις τους με το θέμα.

Τέσσερις εξισώσεις του Maxwell εκφράζουν, αντίστοιχα, πώς ηλεκτρικές δαπάνες προϊόντα ηλεκτρικά πεδία (Νόμος Gaw'n), η πειραματική απουσία μαγνητικές δαπάνες, πώς ρεύματα προϊόντα μαγνητικά πεδία (Νόμος αμπέρ), και πώς μεταβαλλόμενος τα μαγνητικά πεδία παράγετε τα ηλεκτρικά πεδία (Νόμος του Faraday της επαγωγής). Maxwell, 1864, ήταν ο πρώτος για να βάλει και τις τέσσερις εξισώσεις μαζί και για να παρατηρήσει ότι μια διόρθωση απαιτήθηκε στο νόμο του αμπέρ: μεταβαλλόμενη πράξη ηλεκτρικών πεδίων όπως τα ρεύματα, επιπλέον παράγοντας τα μαγνητικά πεδία. (Αυτός ο πρόσθετος όρος καλείται ρεύμα μετατοπίσεων.)

Επιπλέον, Το Maxwell έδειξε αυτό κύματα από τα ταλαντεμένος ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία ταξιδεψτε μέσω του κενού διαστήματος με μια ταχύτητα που θα μπορούσε να προβλεφθεί από απλό ηλεκτρικό πείραμα-χρησιμοποιώντας τα στοιχεία διαθέσιμα στο χρόνο, Το Maxwell έλαβε μια ταχύτητα 310.740.000 μ/s. Maxwell (1865) έγραψε:

Αυτή η ταχύτητα είναι τόσο σχεδόν αυτό του φωτός, ότι φαίνεται έχουμε τον ισχυρό λόγο να ολοκληρώσουμε το ίδιο εκείνο το φως (συμπεριλαμβανομένης της ακτινοβόλου θερμότητας, και άλλες ακτινοβολίες ενδεχομένως) είναι μια ηλεκτρομαγνητική διαταραχή υπό μορφή κυμάτων που διαδίδονται μέσω του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σύμφωνα με τους ηλεκτρομαγνητικούς νόμους.

Το Maxwell ήταν σωστό σε αυτήν την υπόθεση, αν και δεν έζησε για να δει τη δικαίωσή του κοντά Θ*Χεηνρηθχ Hertz 1888. Ποσοτική εξήγηση Maxwell φως όπως ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα θεωρείται ένας από τους μεγάλους θριάμβους της φυσικής 19$ος-αιώνα. (Πραγματικά, Michael Faraday υπάρξοντας θεμένος ως αίτημα μια παρόμοια εικόνα του φωτός μέσα 1846, αλλά δεν ήταν σε θέση να δώσει μια ποσοτική περιγραφή ή να προβλέψει την ταχύτητα.) Επιπλέον, έθεσε τα θεμέλια για πολλές μελλοντικές εξελίξεις στη φυσική, όπως ειδική σχετικότητα και η ενοποίηση ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων του ως ενιαίο tensor ποσότητα, και Kaluza και Klein"ενοποίηση του s του ηλεκτρομαγνητισμού με βαρύτητα και γενική σχετικότητα.

Περιεχόμενο

Ιστορικές εξελίξεις των εξισώσεων και της σχετικότητας Maxwell

Η διατύπωση 1865 του Maxwell ήταν από την άποψη 20 εξισώσεων σε 20 μεταβλητές, όποιος περιέλαβε διάφορες εξισώσεις που θεωρήθηκαν τώρα βοηθητικός σε αυτά που καλείται τώρα "εξισώσεις Maxwell" - ο διορθωμένος νόμος του αμπέρ (τρεις συστατικές εξισώσεις), Νόμος Gaw'n για τη δαπάνη (μια εξίσωση), η σχέση μεταξύ του συνόλου και των πυκνοτήτων ρεύματος μετατοπίσεων (τρεις συστατικές εξισώσεις), η σχέση μεταξύ του μαγνητικού πεδίου και διανυσματική δυνατότητα (τρεις συστατικές εξισώσεις, όποιοι υπονοούν την απουσία μαγνητικής δαπάνης), η σχέση μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου και των κλιμακωτών και διανυσματικών δυνατοτήτων (τρεις συστατικές εξισώσεις, όποιοι υπονοούν το νόμο του Faraday), η σχέση μεταξύ των ηλεκτρικών και τομέων μετατοπίσεων (τρεις συστατικές εξισώσεις), Νόμος ωμ συσχετισμός της πυκνότητας ρεύματος και του ηλεκτρικού πεδίου (τρεις συστατικές εξισώσεις), και εξίσωση συνοχής συσχετισμός πυκνότητα ρεύματος και πυκνότητα δαπανών (μια εξίσωση).

Η σύγχρονη μαθηματική διατύπωση των εξισώσεων Maxwell οφείλεται Oliver Heaviside και Willard Gibbs, ποιοι μέσα 1884 αναδιατυπωμένο αρχικό σύστημα Maxwell των εξισώσεων σε μια πολύ απλούστερη χρησιμοποίηση αντιπροσώπευσης διανυσματικός υπολογισμός. (Το 1873 Maxwell δημοσίευσε επίσης το α quaternion- βασισμένη σημείωση που αποδείχθηκε τελικά μη δημοφιλής.) Η αλλαγή στη διανυσματική σημείωση παρήγαγε μια συμμετρική μαθηματική αντιπροσώπευση που ενίσχυσε την αντίληψη για φυσικό συμμετρίες μεταξύ των διάφορων τομέων. Αυτή η ιδιαίτερα συμμετρική διατύπωση θα ενέπνεε άμεσα τις πιό πρόσφατες εξελίξεις στη θεμελιώδη φυσική.

Προς το τέλος του 19$ου αιώνα, λόγω της εμφάνισης μιας ταχύτητας,

<math>γ = \frac{1}{$l*\sqrt{$l*\varepsilon_0 \mu_0}}< /math>

στις εξισώσεις, Οι εξισώσεις του Maxwell θεωρήθηκαν μόνο για να εκφράσουν τον ηλεκτρομαγνητισμό στο πλαίσιο υπολοίπου luminiferous αιθέρας (το τεθειμένο ως αίτημα μέσο για το φως, ποιά ερμηνεία συζητήθηκε αρκετά). Όταν Μηθχελσον- Morley πείραμα, διευθυνμένος κοντά Θ*Εδωαρδ Morley και Αλβέρτος Abraham Michelson, παρήγαγε το α αχρηστεύστε το αποτέλεσμα για την αλλαγή της ταχύτητας του φωτός λόγω στη γήινη υποτιθέμενη κίνηση μέσω του αιθέρα, εντούτοις, οι εναλλακτικές εξηγήσεις επιδιώχθηκαν από Lorentz και άλλα. Αυτό κατέληξε στη θεωρία Einstein ειδική σχετικότητα, όποιος έθεσε ως αίτημα την απουσία οποιουδήποτε απόλυτου πλαισίου υπολοίπου (ή αιθέρα) και τη σταθερότητα των εξισώσεων Maxwell σε όλα τα πλαίσια της αναφοράς.

Οι εξισώσεις ηλεκτρομαγνητικών πεδίων έχουν μια οικεία σύνδεση με την ειδική σχετικότητα: οι εξισώσεις μαγνητικών πεδίων μπορούν να προέλθουν από την εκτίμηση του μετασχηματισμού των εξισώσεων ηλεκτρικών πεδίων κάτω από τους σχετιστικούς μετασχηματισμούς στις χαμηλές ταχύτητες. (Στη σχετικότητα, οι εξισώσεις γράφονται ακόμα σε έναν συμπαγέστερο, "προφανώς covariant"μορφή, από την άποψη της πυκνός-2 αντισυμμετρικής τομέας-δύναμης 4tensor αυτός ενοποιεί τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία σε ένα ενιαίο αντικείμενο.)

Kaluza και Klein παρουσιασμένος στη δεκαετία του '20 ότι οι εξισώσεις Maxwell μπορούν να παραχθούν με να επεκταθούν γενική σχετικότητα σε πέντε διαστάσεις. Αυτή η στρατηγική τις υψηλότερες διαστάσεις για να ενοποιήσει τις διαφορετικές δυνάμεις είναι ένας ενεργός τομέας της έρευνας μέσα φυσική μορίων.

Περίληψη των εξισώσεων

Όλες οι μεταβλητές που είναι μέσα τολμηρός αντιπροσωπεύστε διάνυσμα ποσότητες.

Γενική περίπτωση

Όνομα Διαφορικό μορφή Ακέραιος μορφή
Νόμος Gaw'n: <math> \nabla \cdot \mathbf{D } = \rho < /math> <math> \oint_S \mathbf{D } \cdot δ \mathbf{A } = \int_V \rho \cdot dV< /math>
Νόμος Gaw'n για το μαγνητισμό
(απουσία μαγνητικά monopoles):
<math> \nabla \cdot \mathbf{B } = 0< /math> <math> \oint_S \mathbf{B } \cdot δ \mathbf{A } = 0< /math>
Νόμος του Faraday της επαγωγής: <math> \nabla \χρόνοι \mathbf{E } = - \frac{$l*\μερικό \mathbf{B }} {\μερικό t}< /math> <math> \oint_C \mathbf{E } \cdot δ \mathbf{l } = - \ {d \άνω της DT } \int_S \mathbf{B } \cdot δ \mathbf{A}< /math>
Νόμος αμπέρ
(με την επέκταση Maxwell):
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{H } = \mathbf{J } + \frac{$l*\μερικό \mathbf{D }} {\μερικό t}< /math> <math> \oint_C \mathbf{H } \cdot δ \mathbf{l } = \int_S \mathbf{J } \cdot δ \mathbf{A } +

{d \άνω της DT } \int_S \mathbf{D } \cdot δ \mathbf{A}< /math>


όπου ο ακόλουθος πίνακας παρέχει την έννοια κάθε συμβόλου και Θ*Ση μονάδα του μέτρου:


Σύμβολο Έννοια Μονάδα Si του μέτρου
<math> \mathbf{E}< /math> ηλεκτρικό πεδίο βολτ ανά μέτρο
<math> \mathbf{H}< /math> ισχύς μαγνητικών πεδίων αμπέρ ανά μέτρο
<math> \mathbf{D}< /math> ηλεκτρικός τομέας μετατοπίσεων Coulomb ανά τετραγωνικό μέτρο
<math> \mathbf{B}< /math> πυκνότητα μαγνητικής ροής
επίσης κάλεσε τη μαγνητική επαγωγή.
tesla, ή ισοδύναμα,
weber ανά τετραγωνικό μέτρο
<math> \ \rho \ < /math> ελεύθερος ηλεκτρική δαπάνη πυκνότητα,
εξαιρέσει των δαπανών διπόλων που δεσμεύονται σε ένα υλικό
Coulomb ανά κυβικό μέτρο
<math> \mathbf{J}< /math> ελεύθερος τρέχων πυκνότητα,
εξαιρέσει των ρευμάτων πόλωσης ή μαγνήτισης που δεσμεύονται σε ένα υλικό
αμπέρ ανά τετραγωνικό μέτρο
<math>δ \mathbf{A}< /math> διαφορικό διανυσματικό στοιχείο της περιοχής επιφάνειας Α, με infinitesimally

μικρές μέγεθος και κατεύθυνση κανονικός στην επιφάνεια Θ*ς

τετραγωνικά μέτρα
<math> dV \ < /math> διαφορικό στοιχείο του όγκου Β εσωκλειόμενος από την επιφάνεια Θ*ς κυβικοί μετρητές
<math> δ \mathbf{l } < /math> διαφορικό διανυσματικό στοιχείο μήκος πορειών εφαπτόμενος στο περίγραμμα Γ να εσωκλείσει την επιφάνεια Θ*ς μετρητές


και

<math> \nabla \cdot< /math> είναι απόκλιση χειριστής (Μονάδα Si: 1 ανά μέτρο),
<math> \nabla \times< /math> είναι μπούκλα χειριστής (μονάδα Si: 1 ανά μέτρο).


Αν και Θ*Ση οι μονάδες δίνονται εδώ για τα διάφορα σύμβολα, Οι εξισώσεις του Maxwell θα κρατήσουν αμετάβλητος σε πολλά διαφορετικά συστήματα μονάδων (και με μόνο τις δευτερεύουσες τροποποιήσεις σε όλες οι άλλες). Τα ο συνηθέστερα χρησιμοποιημένα συστήματα των μονάδων είναι μονάδες Si, χρησιμοποιημένος για την εφαρμοσμένη μηχανική, ηλεκτρονική και τα περισσότερα πρακτικά πειράματα φυσικής, και Μονάδες Planck (επίσης γνωστός ως "φυσικές μονάδεσ"), χρησιμοποιημένος στη θεωρητική φυσική, κβαντικές φυσική και κοσμολογία. Ένα παλαιότερο σύστημα των μονάδων, cgs σύστημα, μερικές φορές επίσης χρησιμοποιείται.

Η δεύτερη εξίσωση είναι ισοδύναμη με τη δήλωση αυτή μαγνητικά monopoles μην υπάρξτε. Η δύναμη άσκησε επάνω σε ένα χρεωμένο μόριο από ηλεκτρικό πεδίο και μαγνητικό πεδίο δίνεται από Δύναμη Lorentz εξίσωση:

<math> \mathbf{F } = q (\mathbf{E } + \mathbf{v } \χρόνοι \mathbf{B }),< /math>

όπου <math> q \ < /math> είναι η δαπάνη στο μόριο και το <math> \mathbf{v } \ < /math> είναι η ταχύτητα μορίων. Αυτό είναι ελαφρώς διαφορετικό όταν εκφράζεται στο σύστημα cgs των μονάδων κατωτέρω.

Οι εξισώσεις του Maxwell εφαρμόζονται γενικά μακροσκοπικοί μέσοι όροι από τους τομείς, όποιοι ποικίλλουν άγρια σε μια μικροσκοπική κλίμακα κοντά στα μεμονωμένα άτομα (όπου υποβάλλονται κβάντο μηχανικό αποτελέσματα επίσης). Είναι μόνο υπό αυτήν την υπολογισμένη κατά μέσο όρο έννοια ότι κάποια μπορεί να καθορίσει τις ποσότητες όπως permittivity και η διαπερατότητα ενός υλικού, κατωτέρω (οι εξισώσεις του μικροσκοπικού Maxwell, αδιαφορία των κβαντικών αποτελεσμάτων, είναι απλά εκείνοι ενός κενού - αλλά κάποιο πρέπει να περιλάβει όλες τις ατομικές δαπάνες και τα λοιπά, όποιο είναι κανονικά ένα δυσεπίλυτο πρόβλημα).

Στα γραμμικά υλικά

Στα γραμμικά υλικά, η πυκνότητα πόλωσης Π (στα Coulomb ανά τετραγωνικό μέτρο) και πυκνότητα μαγνήτισης Μ (στα αμπέρ ανά μετρητή) δίνεται από:

<math> \mathbf{P } = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E } < /math>
<math> \mathbf{M } = \chi_m \mathbf{H } < /math>


και Δ και Β οι τομείς συσχετίζονται με Ε και Χ από:

<math> \mathbf{D } \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E } + \mathbf{P } \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E } \ \

= \ \ \varepsilon \mathbf{E } < /math>

<math> \mathbf{B } \ \ = \ \ \mu_0 (\mathbf{H } + \mathbf{M }) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H } \ \

= \ \ \MU \mathbf{H } < /math>


όπου:

<math> \chi_e < /math> είναι ηλεκτρική ευαισθησία από το υλικό,

<math> \chi_m < /math> είναι μαγνητική ευαισθησία από το υλικό,

; είναι ο ηλεκτρικός permittivity από το υλικό, και

; είναι ο μαγνητικός διαπερατότητα από το υλικό

(Αυτό μπορεί πραγματικά να επεκταθεί για να χειριστεί τα μη γραμμικά υλικά επίσης, με την παραγωγή ; και ; εξαρτηθείτε από τη δύναμη τομέων δείτε το ε.γ. Kerr και Αποτελέσματα Pockels.)

Σε μη-διασποράς, ισοτροπικά μέσα, ; και; είναι time-independent scalars, και οι εξισώσεις Maxwell μειώνουν

<math> \nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E } = \rho < /math>
<math> \nabla \cdot \MU \mathbf{H } = 0< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{E } = - \MU \frac{$l*\μερικό \mathbf{H }} {\μερικό t}< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{H } = \mathbf{J } + \varepsilon \frac{$l*\μερικό \mathbf{E }} {\μερικό t}< /math>

Σε ένα ομοιόμορφο (ομοιογενές) μέσο, ; και; είναι ανεξάρτητος σταθερών της θέσης, και μπορεί έτσι επιπλέον να ανταλλαχθεί με τα χωρικά παράγωγα.

Γενικότερα, ; και; μπορέστε να είστε πυκνός-2 tensors (3Χ3 μήτρες) περιγραφή διπλοθλαστικός (ανισότροπα) υλικά. Επίσης, αν και για πολλούς λόγους ο χρόνος/η συχνότητα-εξάρτηση αυτών των σταθερών μπορεί να παραμεληθεί, κάθε πραγματικό υλικό εκθέτει μερικούς υλική διασπορά από όποιους; και/ή; εξαρτηθείτε από συχνότητα (και η αιτιότητα περιορίζει αυτήν την εξάρτηση για να υπακούσει Κραμερς- Kronig σχέσεις).

Στο κενό, χωρίς τις δαπάνες ή ρεύματα

Το κενό είναι ένα γραμμικό, ομοιογενής, ισοτροπικός, dispersionless μέσο, και οι σταθερές αναλογικότητας στο κενό δείχνονται κοντά ;0 και ;0 (παραμελώντας τις πολύ μικρές μη γραμμικότητες λόγω στα κβαντικά αποτελέσματα).

<math> \mathbf{D } = \varepsilon_0 \mathbf{E } < /math>
<math> \mathbf{B } = \mu_0 \mathbf{H } < /math>


Δεδομένου ότι δεν υπάρχει καμία τρέχουσα ή ηλεκτρική δαπάνη παρούσα στο κενό, λαμβάνουμε τις εξισώσεις του Maxwell στο ελεύθερο διάστημα:

<math> \nabla \cdot \mathbf{E } = 0< /math>
<math> \nabla \cdot \mathbf{H } = 0< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{E } = - \mu_0 \frac{$l*\μερικό \mathbf{H }} {\μερικό t}< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{H } = \ \ \varepsilon_0 \frac{$l*\μερικό \mathbf{E }} {\μερικό t}< /math>

Αυτές οι εξισώσεις έχουν μια απλή λύση από την άποψη των διακινούμενων ημιτονοειδών επίπεδων κυμάτων, με τις κατευθύνσεις ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων ορθογώνιες στο ένα άλλο και η κατεύθυνση του ταξιδιού, και με τους δύο τομείς στη φάση, ταξίδι με την ταχύτητα

<math>γ = \frac{1}{$l*\sqrt{$l*\mu_0 \varepsilon_0 }} < /math>

Maxwell ανακαλυμμένος ότι αυτή η ποσότητα γ είναι απλά ταχύτητα του φωτός στο κενό, και έτσι εκείνο το φως είναι μια μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Οι αυτήν την περίοδο αποδεκτές τιμές για την ταχύτητα του φωτός, permittivity,και η διαπερατότητα συνοψίζεται στον ακόλουθο πίνακα:

Σύμβολο Όνομα Αριθμητική αξία Μονάδα Si του μέτρου Τύπος
<math> γ \ < /math> Ταχύτητα του φωτός <math> 2.998 \χρονικό 10^{8 } < /math> μέτρα ανά δευτερόλεπτο καθορισμένος
<math> \ \varepsilon_0 < /math> Permittivity <math> 8.854 \χρονικό 10^{-12 } < /math> farads ανά μετρητή παραγόμενος
<math> \ \mu_0 \ < /math> Διαπερατότητα <math> 4 \pi \χρόνοι 10^{-7 } < /math> henries ανά μετρητή καθορισμένος

Λεπτομέρεια

Πυκνότητα δαπανών και το ηλεκτρικό πεδίο

<math> \nabla \cdot \mathbf{D } = \rho< /math>,

όπου <math>{\rho}< /math> είναι ελεύθερος πυκνότητα ηλεκτρικών δαπανών (στις μονάδες του γ/μ3), εξαιρέσει των δαπανών διπόλων που δεσμεύονται σε ένα υλικό, και <math> \mathbf{D}< /math> είναι ηλεκτρικός τομέας μετατοπίσεων (στις μονάδες του γ/μ2). Αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί Νόμος Coulomb για τις στάσιμες δαπάνες στο κενό.

Η ισοδύναμη ακέραια μορφή (από θεώρημα απόκλισης), επίσης γνωστός ως νόμος των Gaw'n, είναι:

<math> \oint_A \mathbf{D } \cdot δ \mathbf{A } = q _ \mbox{enclosed}< /math>

όπου <math>δ \mathbf{A}< /math> είναι ο τομέας ενός διαφορικού τετραγώνου στην κλειστή επιφάνεια Α με μια εξωτερική αντιμετωπίζοντας επιφάνεια κανονική καθορίζοντας την κατεύθυνσή του, και <math>Θ*q _ \mbox{enclosed}< /math> είναι η ελεύθερη δαπάνη που εσωκλείεται από την επιφάνεια.

Στο α γραμμικό υλικό, <math> \mathbf{D}< /math> συσχετίζεται άμεσα με το ηλεκτρικό πεδίο <math> \mathbf{E}< /math> μέσω μιας υλικός-εξαρτώμενης σταθεράς αποκαλούμενης permittivity, <math> \epsilon< /math>:

<math> \mathbf{D } = \varepsilon \mathbf{E}< /math>.

Οποιοδήποτε υλικό μπορεί να αντιμετωπιστεί όπως γραμμικό, εφ' όσον το ηλεκτρικό πεδίο δεν είναι εξαιρετικά ισχυρό. Permittivity του ελεύθερου διαστήματος αναφέρεται ως <math> \epsilon_0< /math>, και εμφανίζεται σε:

<math> \nabla \cdot \mathbf{E } = \frac{$l*\rho_t}{$l*\varepsilon_0}< /math>

όπου, πάλι, <math> \mathbf{E}< /math> είναι το ηλεκτρικό πεδίο (στις μονάδες του Β/m), <math> \rho_t< /math> είναι η συνολική πυκνότητα δαπανών (συμπεριλαμβανομένων των συνδεδεμένων δαπανών), και <math> \epsilon_0< /math> (περίπου 8.854 pF/μ) είναι permittivity του ελεύθερου διαστήματος. <math> \epsilon< /math> μπορέστε επίσης να γραφτείτε ως <math> \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r< /math>, όπου <math> \epsilon_r< /math> είναι σχετικό permittivity του υλικού ή του διηλεκτρική σταθερά.

Συγκρίνετε Εξίσωση Poisson.

Η δομή του μαγνητικού πεδίου

<math> \nabla \cdot \mathbf{B } = 0< /math>

<math> \mathbf{B}< /math> είναι η πυκνότητα μαγνητικής ροής (στις μονάδες των teslas, T), επίσης κάλεσε τη μαγνητική επαγωγή.

Ισοδύναμη ακέραια μορφή:

<math> \oint_A \mathbf{B } \cdot δ \mathbf{A } = 0< /math>

<math>δ \mathbf{A}< /math> είναι ο τομέας ενός διαφορικού τετραγώνου στην επιφάνεια <math>A< /math> με μια εξωτερική αντιμετωπίζοντας επιφάνεια κανονική καθορίζοντας την κατεύθυνσή του.

Όπως την ακέραια μορφή του ηλεκτρικού πεδίου, αυτή η εξίσωση λειτουργεί μόνο εάν το ολοκλήρωμα γίνεται πέρα από μια κλειστή επιφάνεια.

Αυτή η εξίσωση συσχετίζεται με τη δομή του μαγνητικού πεδίου επειδή δηλώνει εκείνο το οποιοδήποτε στοιχείο όγκου, το καθαρό μέγεθος των διανυσματικών συστατικών που δείχνουν εξωτερικά από την επιφάνεια πρέπει να είναι ίσο με το καθαρό μέγεθος των διανυσματικών συστατικών που δείχνουν προς το εσωτερικό. Δομικά, αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές μαγνητικών πεδίων πρέπει να είναι κλειστοί βρόχοι. Another way of putting it is that the field lines cannot originate from somewhere; attempting to follow the lines backwards to their source or forward to their terminus ultimately leads back to the starting position. Hence, this is the mathematical formulation of the assumption that there are no magnetic monopoles.

A changing magnetic flux and the electric field

<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac {\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>

Equivalent integral Form:

<math> \oint_{s} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = - \frac {d\Phi_{\mathbf{B}}} {dt}</math> where <math> \Phi_{\mathbf{B}} = \int_{A} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}</math>

where

;Β είναι η μαγνητική ροή μέσω της περιοχής Α που περιγράφεται από τη δεύτερη εξίσωση

Ε είναι το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από τη μαγνητική ροή

s είναι μια κλειστή πορεία στην οποία το ρεύμα προκαλείται, όπως ένα καλώδιο.

ηλεκτρεγερτική δύναμη (μερικές φορές δειγμένο <math> \mathcal{E}< /math>, για να μην συγχεθεί με permittivity ανωτέρω) είναι ίσος με την αξία αυτού του ολοκληρώματος.

Αυτός ο νόμος αντιστοιχεί στο νόμο του Faraday ηλεκτρομαγνητική επαγωγή.

Μερικά εγχειρίδια παρουσιάζουν δεξί σημάδι της ακέραιας μορφής με Ν (αντιπροσωπεύοντας τον αριθμό σπειρών του καλωδίου που είναι γύρω από την άκρη Α) μπροστά από το παράγωγο ροής. Ν μπορέστε να φροντιστείτε στον υπολογισμό Α (οι πολλαπλάσιες σπείρες καλωδίων σημαίνουν τις πολλαπλάσιες επιφάνειες για το συλλίπασμα για να πάνε κατευθείαν), και είναι μια λεπτομέρεια εφαρμοσμένης μηχανικής έτσι έχει παραλειφθεί εδώ.

Το αρνητικό σημάδι είναι απαραίτητο για να διατηρήσει τη συντήρηση της ενέργειας. Είναι τόσο σημαντικό που έχει ακόμη και το όνομά του, Νόμος Lenz.

Αυτή η εξίσωση αφορά τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, αλλά έχει επίσης πολλές πρακτικές εφαρμογές, επίσης. Αυτή η εξίσωση περιγράφει πώς ηλεκτρικές μηχανές και ηλεκτρικές γεννήτριες εργασία. Συγκεκριμένα, καταδεικνύει ότι μια τάση μπορεί να παραχθεί με την ποικιλία της μαγνητικής ροής που περνά μέσω μιας δεδομένης περιοχής κατά τη διάρκεια του χρόνου, όπως με ομοιόμορφα να περιστραφεί έναν βρόχο του καλωδίου μέσω ενός σταθερού μαγνητικού πεδίου. Σε μια μηχανή ή μια γεννήτρια, η σταθερή διέγερση παρέχεται από τομέας το κύκλωμα και η ποικίλη τάση μετριούνται πέρα από armature κύκλωμα. Σε μερικούς τύπους μηχανών/γεννήτριες, το κύκλωμα τομέων τοποθετείται στο στροφέα και το armature κύκλωμα τοποθετείται στο στάτη, αλλά άλλοι τύποι μηχανών/οι γεννήτριες υιοθετούν την αντίστροφη διαμόρφωση.

Οι εξισώσεις του Maxwell ισχύουν για ένα δεξιόχειρας ισότιμο σύστημα. Το να εφαρμόσουμε τους χωρίς τροποποιήσεις σε ένα αριστερό σύστημα θα σήμαινε μια αντιστροφή της πολικότητας των μαγνητικών πεδίων (μη ασυμβίβαστων, αλλά σαστισμένα ενάντια στη σύμβαση).

Η πηγή του μαγνητικού πεδίου

<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{H } = \mathbf{J } + \frac {\μερικό \mathbf{D }} {\μερικό t}< /math>

όπου Χ είναι ισχύς μαγνητικών πεδίων (στις μονάδες του Α/m), σχετικός με τη μαγνητική ροή Β από μια σταθερά αποκαλούμενη διαπερατότητα, ; (Β =;Χ), και Θ*ι είναι πυκνότητα ρεύματος, καθορισμένος από: Θ*ι = ??qβdV όπου β είναι ένας διανυσματικός τομέας αποκαλούμενος ταχύτητα κλίσης που περιγράφει τις ταχύτητες των μεταφορέων εκείνων των δαπανών που έχει μια πυκνότητα περιγραμμένος από την κλιμακωτή λειτουργία;q.

Στο ελεύθερο διάστημα, η διαπερατότητα; είναι η διαπερατότητα του ελεύθερου διαστήματος, ;0, όποιος καθορίζεται για να είναι ακριβώς 4?Χ10-7 Θ*Ω/A·m. Επίσης, permittivity γίνεται permittivity του ελεύθερου διαστήματος;0. Κατά συνέπεια, στο ελεύθερο διάστημα, η εξίσωση γίνεται:

<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{B } = \mu_0 \mathbf{J } + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{$l*\μερικό \mathbf{E}}{$l*\μερικό t}< /math>

Ισοδύναμη ακέραια μορφή:

<math> \oint_s \mathbf{B } \cdot δ \mathbf{s } = \mu_0 Ι _ \mbox{encircled } + \mu_0 \varepsilon_0 \int_A \frac{$l*\μερικό \mathbf{E}}{$l*\μερικό τ } \cdot δ \mathbf{A}< /math>

s είναι η άκρη της ανοικτής επιφάνειας Α (οποιαδήποτε επιφάνεια με την καμπύλη s δεδομένου ότι η άκρη της θα κάνει), και Ιπερικυκλωμένος είναι το ρεύμα που περικυκλώνεται από την καμπύλη s (το ρεύμα μέσω οποιασδήποτε επιφάνειας καθορίζεται από την εξίσωση: Ιμέσω Α =;ΑΘ*ι·dΑ).

Εάν ηλεκτρική πυκνότητα ροής δεν ποικίλλει γρήγορα, ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά (η ροή μετατοπίσεων) είναι αμελητέος, και η εξίσωση μειώνει Νόμος αμπέρ.

Εξισώσεις Maxwell στις μονάδες CGS

Οι ανωτέρω εξισώσεις δίνονται Διεθνές σύστημα των μονάδων, ή Θ*Ση για απότομα. Σε ένα σχετικό σύστημα μονάδων, αποκαλούμενος cgs (απότομα για εκατοστόμετρο-γραμμάριο-δευτερευόντως), οι εξισώσεις λαμβάνουν την ακόλουθη μορφή:

<math> \nabla \cdot \mathbf{E } = 4 \pi \rho< /math>
<math> \nabla \cdot \mathbf{B } = 0< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{E } = - \frac{1}{c } \frac{$l*\μερικό \mathbf{B }} {\μερικό t}< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{B } = \frac{1}{c } \frac{$l*\μερικό \mathbf{E }} {\μερικό τ } + \frac{4 \pi}{c } \mathbf{J}< /math>

Όπου γ είναι η ταχύτητα του φωτός σε ένα κενό. Για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε ένα κενό, οι εξισώσεις γίνονται:

<math> \nabla \cdot \mathbf{E } = 0< /math>
<math> \nabla \cdot \mathbf{B } = 0< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{E } = - \frac{1}{c } \frac{$l*\μερικό \mathbf{B }} {\μερικό t}< /math>
<math> \nabla \χρόνοι \mathbf{B } = \frac{1}{c } \frac{$l*\μερικό \mathbf{E}}{$l*\μερικό </t }math>

Η δύναμη άσκησε επάνω σε ένα χρεωμένο μόριο από ηλεκτρικό πεδίο και μαγνητικό πεδίο δίνεται από Δύναμη Lorentz εξίσωση:

<math> \mathbf{F } = q (\mathbf{E } + \frac{$l*\mathbf{v}}{c } \χρόνοι \mathbf{B }),< /math>

όπου <math> q \ < /math> είναι η δαπάνη στο μόριο και το <math> \mathbf{v } \ < /math> είναι η ταχύτητα μορίων. Αυτό είναι ελαφρώς διαφορετικό από Θ*Ση- έκφραση μονάδων ανωτέρω. Παραδείγματος χάριν, εδώ το μαγνητικό πεδίο <math> \mathbf{B } \ < /math> έχει τις ίδιες μονάδες με το ηλεκτρικό πεδίο <math> \mathbf{E } \ < /math>.

Διατύπωση των εξισώσεων Maxwell στην ειδική σχετικότητα

Μαθηματική σημείωση: Σε αυτό το τμήμα αφηρημένη σημείωση δεικτών θα χρησιμοποιηθεί.

Στην ειδική σχετικότητα, προκειμένου πιό σαφώς σαφής το γεγονός ότι οι εξισώσεις Maxwell (στο κενό) λαμβάνουν την ίδια μορφή σε οποιοδήποτε αδρανές ισότιμο σύστημα, οι εξισώσεις του κενού Maxwell γράφονται από την άποψη τέσσερις-διανύσματα και tensors στη "προφανώς covariant" μορφή:

<math>J^ β = \partial_a F^{ab } \, \!< /math>,

και

<math>0 = \partial_c F_{ab } + \partial_b F_{ca } + \F_{bc}< partial_a /math>

ο τελευταίος του οποίου είναι ισοδύναμος με:

<math>0 = \epsilon_{dabc } \partial^a F^{bc } \, \! < /math>

όπου <math> \, J^a< /math> είναι 4-ρεύμα, <math> \, F^{ab}< /math> είναι tensor δύναμης τομέων (γραπτός ως 4 Χ 4 μήτρα), <math> \, \epsilon_{abcd}< /math> είναι Θ*Λεβη- Civita σύμβολο, και <math> \partial_a = (\μερικός/\μερικό CT, \nabla)< /math> είναι η 4-κλίση (έτσι ώστε <math> \partial_a \partial^a< /math> είναι d'Alembertian χειριστής). (Το <math>a< /math> στην πρώτη εξίσωση αθροίζεται σιωπηρά, σύμφωνα με Σημείωση Einstein.) Η πρώτη tensor εξίσωση εκφράζει τις δύο εξισώσεις του inhomogeneous Maxwell: Νόμος Gaw'n και νόμος του αμπέρ με τη διόρθωση Maxwell. Η δεύτερη εξίσωση εκφράζει άλλες τις δύο, ομοιογενείς εξισώσεις: Νόμος του Faraday της επαγωγής και η απουσία μαγνητικά monopoles.

Ρητότερα, <math>J^a = \, (γ \rho, \vec Θ*ι) < /math> (ως α contravariant διάνυσμα), από την άποψη της πυκνότητας δαπανών; και η πυκνότητα ρεύματος <math> \vec J< /math>. Το 4-ρεύμα ικανοποιεί την εξίσωση συνοχής

<math>J^a{}_{,α } \, = 0< /math>

Από την άποψη 4-πιθανός (ως contravariant διάνυσμα) <math>A^{a } = \left($l*\phi, \vec Εναλλασσόμενο ρεύμα \right)< /math>, πού; είναι η ηλεκτρικά δυνατότητα και το <math> \vec A< /math> είναι η μαγνητική διανυσματική δυνατότητα στο μετρητή < του Lorenzmath> \αριστερό (\partial_a A^a = 0 \σωστό)&λτ /math>, Φ μπορέστε να εκφραστείτε όπως:

<math>F^{ab } = \partial^b A^a - \partial^a A^b \, \!< /math>

όποιος οδηγεί στα 4 Χ 4 μήτρα πυκνός-2 tensor:

<math>F^{ab } = \left(

\begin{matrix } 0 & - \frac {$l*E_x}{c } & - \frac {$l*E_y}{c } & - \frac {$l*E_z}{c } \\ \frac{E_x}{c } & 0 & - B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c } & B_z & 0 & - B_x \\ \frac{E_z}{c } & - B_y & B_x & 0 \end{matrix } \right).< /math>

Το γεγονός ότι και τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία συνδυάζονται ενιαίο tensor εκφράζει το γεγονός ότι, σύμφωνα με τη σχετικότητα, και οι δύο είναι διαφορετικές πτυχές του ίδιου πράγματος πράγμα-από την αλλαγή των πλαισίων της αναφοράς, αυτό που φάνηκε να είναι ένα ηλεκτρικό πεδίο σε ένα πλαίσιο μπορεί να εμφανιστεί ως μαγνητικό πεδίο σε ένα άλλο πλαίσιο, και αντίστροφα.

Χρησιμοποίηση της tensor μορφής εξισώσεων Maxwell, η πρώτη εξίσωση υπονοεί

<math> \Κιβώτιο F^{ab } = 0< /math> (Δείτε Ηλεκτρομαγνητική τέσσερις-δυνατότητα για τη σχέση μεταξύ του d'Alembertian της τέσσερις-δυνατότητας και του τέσσερις-ρεύματος, εκφρασμένος από την άποψη της παλαιότερης διανυσματικής σημείωσης χειριστών).

Οι διαφορετικοί συντάκτες χρησιμοποιούν μερικές φορές τις διαφορετικές συμβάσεις σημαδιών για ανωτέρω tensors και τα 4-διανύσματα (που δεν έχει επιπτώσεις στη φυσική ερμηνεία).

<math> \, F^{ab}< /math> και <math> \, F_{ab}< /math> είναι όχι το ίδιο πράγμα: αφορούν από Minkowski μετρικό tensor <math> \eta< /math>: <math>F_{ab } = \, \eta_{ac } \eta_{bd } F^{cd}< /math>. Αυτό εισάγει τις αλλαγές σημαδιών σε μερικές από Φ "τμήματα του s οι πιό σύνθετες μετρικές δυαδικότητες αντιμετωπίζονται μέσα γενική σχετικότητα.

Εξισώσεις Maxwell από την άποψη των διαφορικών μορφών

Στο α κενό, πού; και; είναι σταθερός παντού, Οι εξισώσεις του Maxwell απλοποιούν αρκετά μιά φορά τη γλώσσα διαφορική γεωμετρία και διαφορικές μορφές χρησιμοποιείται. Τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία τώρα από κοινού περιγράφονται από το α 2form Φ σε έναν 4-διαστατικό spacetime πολλαπλή. Οι εξισώσεις του Maxwell μειώνουν έπειτα Bianchi ταυτότητα

<math>δ \bold{F}=0< /math>

όπου το δ δείχνει εξωτερικό παράγωγο - ένας διαφορικός χειριστής που ενεργεί στις μορφές - και η πηγής εξίσωση

<math>d{* \bold{F }}=*\bold{J}< /math>

όπου * είναι Αστέρι Hodge (διπλός) χειριστής. Εδώ, οι τομείς αντιπροσωπεύονται μέσα φυσικές μονάδες πού;0 είναι 1. Εδώ, Θ*ι είναι α 1form κάλεσε την ικανοποίηση "ηλεκτρικής τρέχουσασ" ή "τρέχουσας μορφήσ" εξίσωση συνοχής

<math>d{* \bold{J}}=0< /math>

Σε έναν γραμμικό, μακροσκοπική θεωρία, η επιρροή του θέματος στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο περιγράφεται μέσω ενός γραμμικού μετασχηματισμού στο διάστημα των 2-μορφών, <math> \Lambda^2< /math>. Καλούμε αυτό συστατικό μετασχηματισμό

<math> Γ: \Lambda^2 \Νι \bold{F } \mapsto \bold{G}=C \bold{F } \σε \Lambda^2< /math>

Ο ρόλος αυτού του μετασχηματισμού είναι συγκρίσιμος με το μετασχηματισμό δυαδικότητας Hodge και γράφουμε τις εξισώσεις Maxwell παρουσία του θέματος όπως:

<math> δ * \bold{G } = * \bold{J}< /math>
<math> δ \bold{F } = 0< /math>

Όταν οι τομείς εκφράζονται ως γραμμικοί συνδυασμοί (εξωτερικών προϊόντων) βάσης διαμορφώνουν <del math> \bold{$l*\theta}^p< /math>,

<math> \bold{F } = F_{pq } \bold{$l*\theta}^p \σφήνα \bold{$l*\theta}^q< /math>

η συστατική σχέση λαμβάνει τη μορφή

<math> G_{pq } = C_{pq}^{mn}F_{mn}< /math>

όπου οι λειτουργίες συντελεστή τομέων είναι αντισυμμετρικές στους δείκτες και οι συστατικοί συντελεστές είναι αντισυμμετρικοί ανά τα αντίστοιχα ζευγάρια.

Αυτό δείχνει ότι η έκφραση των εξισώσεων Maxwell από την άποψη των διαφορικών μορφών οδηγεί σε μια περαιτέρω απλοποίηση notational. Εκτιμώντας ότι οι εξισώσεις Maxwell ήταν μιά φορά οκτώ κλιμακωτές εξισώσεις, θα μπορούσαν να γραφτούν ως δύο tensor εξισώσεις, από το οποίο η διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών διαταραχών και η εξίσωση συνοχής θα μπορούσαν να παραχθούν με μια μικρή προσπάθεια. Η χρησιμοποίηση του διαφορικού διαμορφώνει τη σημείωση εντούτοις, μόλυβδοι σε μια ακόμα απλούστερη παραγωγή αυτών των αποτελεσμάτων. Η τιμή για να πληρώσει για αυτήν την απλοποίηση είναι ότι κάποιος χρειάζεται τη γνώση των πιό τεχνικών μαθηματικών.

Κλασσική ηλεκτροδυναμική ως δέσμη γραμμών

Ένας κομψός και διαισθητικός τρόπος να διατυπωθούν οι εξισώσεις Maxwell είναι να χρησιμοποιήσει δέσμες γραμμών ή κύριες δέσμες με την ίνα U(1). σύνδεση στη γραμμή η δέσμη είναι d+A με Α τέσσερις-διανυσματικός αποτελούμενος από ηλεκτρική δυνατότητα και μαγνητική διανυσματική δυνατότητα. κυρτότητα από τη σύνδεση F=dA είναι η δύναμη τομέων. Μερικοί θεωρούν ότι αυτή η διατύπωση επιτρέπει μια φυσικότερη περιγραφή Αχαρονοβ- Bohm επίδραση, δηλαδή από την άποψη του holonomy μιας καμπύλης σε μια δέσμη γραμμών. (Δείτε Θ*Μηθχεαλ Murray, Δέσμες γραμμών, 2002 (σύνδεση Ιστού PDF) για μια απλή μαθηματική αναθεώρηση αυτής της διατύπωσης. Δείτε επίσης Ρ. Bott, Σε μερικές πρόσφατες αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής, Καναδικό μαθηματικό Bulliten, 28 (1985) )no. 2 PP 129-164.)

Δείτε επίσης

Αναφορές

Αρθρα σε περιοδικά

Πανεπιστημιακά εγχειρίδια επιπέδων

Προπτυχιακός φοιτητής

  • Griffiths, Δαβίδ J. (1998). Εισαγωγή στην ηλεκτροδυναμική (οι 3$οι ΕΔ.), Αίθουσα Prentice. ISBN 013805326X.
  • Tipler, Θ*Παuλ (2004). Φυσική για τους επιστήμονες και τους μηχανικούς: Ηλεκτρική ενέργεια, Μαγνητισμός, Φως, και στοιχειώδης σύγχρονη φυσική (οι 5$οι ΕΔ.), Θ*Ω. Χ. Ελεύθερος πολίτης. ISBN 0716708108.
  • Θ*Εδωαρδ M. Purcell, Ηλεκτρική ενέργεια και μαγνητισμός (ΜθΓραω-λόφος, Νέα Υόρκη, 1985).
  • Banesh Hoffman, Σχετικότητα και οι ρίζες του (Ελεύθερος πολίτης, Νέα Υόρκη, 1983).
  • Θ*Θχαρλες F. Stevens, Οι έξι θεωρίες πυρήνων της σύγχρονης φυσικής, (Τύπος MIT, 1995) ISBN 0-262-69188-4.

Πτυχιούχος

  • Τζάκσον, Θ*Ιοχν δ. (1998). Κλασσική ηλεκτροδυναμική (οι 3$οι ΕΔ.), Ουίλι. ISBN 047130932X.
  • Λαντό, Λ. Δ., Η κλασσική θεωρία των τομέων (Σειρά μαθημάτων της θεωρητικής φυσικής: Τόμος 2), (Ψuττερωορτχ- Heinemann: Οξφόρδη, 1987).
  • Maxwell, James C. (1954). Μια πραγματεία στην ηλεκτρική ενέργεια και το μαγνητισμό, Ντόβερ. ISBN 0486606376.
  • Θ*Θχαρλες W. Misner, KIP s. Thorne, Θ*Ιοχν Archibald Wheeler, Βαρύτητα, (1970) Θ*Ω.Χ. Ελεύθερος πολίτης, Νέα Υόρκη ISBN 0-7167-0344-0. (Παρέχει μια επεξεργασία των εξισώσεων Maxwell από την άποψη των διαφορικών μορφών.)

Εξωτερικές συνδέσεις

 

  > Ελληνικά > en.wikipedia.org (Μηχανή που μεταφράζεται στα ελληνικά)