Ισορροπία Nash

θεωρία παιχνιδιών, Ισορροπία Nash (ονομασμένος κατόπιν Θ*Ιοχν Nash ποιος πρότεινε ότι) είναι ένα είδος βέλτιστης συλλογικής στρατηγικής σε ένα παιχνίδι που περιλαμβάνει δύο ή περισσότερους παίκτες, όπου κανένας φορέας δεν έχει τίποτα που κερδίζει με την αλλαγή μόνο της στρατηγικής του/της. Εάν κάθε φορέας έχει επιλέξει μια στρατηγική και κανένας φορέας δεν μπορεί να ωφεληθεί με την αλλαγή της στρατηγικής του/της ενώ οι άλλοι φορείς κρατούν δικών τους αμετάβλητων, κατόπιν το τρέχον σύνολο επιλογών στρατηγικής και οι αντίστοιχες εξοφλήσεις αποτελούν μια ισορροπία Nash.

Η έννοια της Nash ισορροπίας (NE) δεν είναι ακριβώς αρχική σε Nash (ε.g., Θ*Αντοηνε Augustin Cournot επέδειξε πώς να βρεί τι καλούμε τώρα ισορροπία Nash Διπλόπολη Cournot παιχνίδι). Εντούτοις, Το Nash παρουσίασε για πρώτη φορά στη διατριβή του, Μη συνεταιριστικά παιχνίδια (1950), οι ισορροπίες εκείνο το Nash πρέπει να υπάρξουν για όλα τα πεπερασμένα παιχνίδια με οποιοδήποτε αριθμό παικτών. Μέχρι Nash, αυτό ήταν αποδειγμένο μόνο για τα μηδενικά παιχνίδια 2-φορέων κοντά Θ*Ιοχν βον Neumann και Oskar Morgenstern (1947).

Περιεχόμενο

Επίσημοι καθορισμός και ύπαρξη των ισορροπιών Nash

Αφήστε (s, φ) να είστε ένα παιχνίδι, όπου το s είναι το σύνολο σχεδιαγράμματα στρατηγικής και το φ είναι το σύνολο σχεδιαγραμμάτων εξόφλησης. Όταν κάθε φορέας <math>ι \μέσα [ 1,n]< /math> επιλέγει τη στρατηγική <math>x_i \S_i< /math> με συνέπεια το σχεδιάγραμμα < στρατηγικήςmath>x< /math> <math>= (x_1, ..., x_n)< /math> κατόπιν φορέας <math>i< /math> λαμβάνει την εξόφληση <math>f_i(x)< /math>. Ένα σχεδιάγραμμα < στρατηγικήςmath>Χ * \S< /math> είναι μια Nash ισορροπία (NE) εάν καμία απόκλιση στη στρατηγική από οποιοδήποτε ενιαίο φορέα δεν είναι κερδοφόρα, δηλαδή εάν για όλο <math>i< /math>

<math>f_i(x_i, x*_{-i}) \leq f_i(x *).< /math>

Ένα παιχνίδι μπορεί να έχει το α καθαρή στρατηγική ΝΕ ή ένα ΝΕ στο του μικτός επέκταση (αυτή της επιλογής μιας καθαρής στρατηγικής stochastically με σταθερό συχνότητα). Το Nash απέδειξε ότι, εάν επιτρέπουμε μικτές στρατηγικές (οι φορείς επιλέγουν τις στρατηγικές τυχαία σύμφωνα με τις προκαθορισμένες πιθανότητες), κατόπιν κάθε παιχνίδι ν-φορέων στο οποίο κάθε φορέας μπορεί να επιλέξει από finitely πολλές στρατηγικές αναγνωρίζουν τουλάχιστον μια ισορροπία Nash.

Σκίτσο απόδειξης

Αφήστε <math> \sigma_{-i}< /math> να είστε ένα μικτό σχεδιάγραμμα στρατηγικής όλων των φορέων εκτός από το φορέα <math>i< /math>. Μπορούμε να καθορίσουμε το α καλύτερη απάντηση αλληλογραφία για το φορέα <math>i< /math>, <math>b_i< /math>. <math>b_i< /math> είναι σχέση από το σύνολο όλων των διανομών πιθανότητας πέρα από τα αντίπαλα σχεδιαγράμματα φορέων σε ένα σύνολο φορέα <math>i< /math>"στρατηγικές του s, έτσι ώστε κάθε στοιχείο <math>b_i($l*\sigma_{-i})< /math> είναι μια καλύτερη απάντηση σε <math> \sigma_{-i}< /math>. Καθορίστε <math>b($l*\sigma) = b_1($l*\sigma_{1}) \χρόνοι b_2($l*\sigma_{2}) \χρόνοι \cdots \χρόνοι b_n($l*\sigma_{-n})< /math>. Κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει Σταθερό Kakutani θεώρημα σημείου για να αποδείξει εκείνο το <math>b< /math> έχει ένα σταθερό σημείο. Δηλαδή υπάρχει ένα <math> \sigma*< /math> έτσι ώστε <math> \σίγμα * \σε b($l*\sigma*)< /math>. Από <math>b($l*\sigma*)< /math> αντιπροσωπεύει την καλύτερη απάντηση για όλους τους φορείς σε <math> \sigma*< /math>, η ύπαρξη του σταθερού σημείου αποδεικνύει ότι υπάρχει κάποια στρατηγική καθορισμένη που είναι μια καλύτερη απάντηση σε το. Κανένας φορέας δεν θα μπορούσε να κάνει καθόλου καλύτερα με την παρέκκλιση, και είναι επομένως μια ισορροπία Nash.

Παραδείγματα

Παιχνίδι ανταγωνισμού

Εξετάστε το ακόλουθο δύο παικτών παιχνίδι: και οι δύο φορείς επιλέγουν ταυτόχρονα ακέραιο έναν αριθμό από 0 έως 10. Και οι δύο φορείς κερδίζουν έπειτα το ελάχιστο των δύο αριθμών σε δολάρια. Επιπλέον, εάν ένας φορέας επιλέγει έναν μεγαλύτερο αριθμό από άλλος, κατόπιν πρέπει να πληρώσουν $2 σε άλλος. Αυτό το παιχνίδι έχει μια μοναδική ισορροπία Nash: και οι δύο φορείς που επιλέγουν 0. Οποιαδήποτε άλληδήποτε επιλογή των στρατηγικών μπορεί να βελτιωθεί εάν ένας από τους φορείς χαμηλώνει τον αριθμό τους στο ένα λιγότερο από τον αριθμό άλλου φορέα. Εάν το παιχνίδι τροποποιείται έτσι ώστε οι δύο παίκτες κερδίζουν το ονομασμένο ποσό εάν και οι δύο επιλέγουν τον ίδιο αριθμό, και ειδάλλως μην κερδίστε τίποτα, κατόπιν υπάρχουν 11 ισορροπίες Nash.

Παιχνίδι συντονισμού


Κύριο άρθρο: Παιχνίδι συντονισμού

παιχνίδι συντονισμού είναι ένας κλασικός (συμμετρικός) φορέας δύο, δύο στρατηγική παιχνίδι, με αυτό μήτρα εξόφλησης.

Ένα παιχνίδι συντονισμού
Ο φορέας 2 υιοθετεί τη στρατηγική 1 Ο φορέας 2 υιοθετεί τη στρατηγική 2
Ο φορέας 1 υιοθετεί τη στρατηγική 1 Α, Α Β, Γ
Ο φορέας 1 υιοθετεί τη στρατηγική 2 Γ, Β Δ, Δ

όπου οι εξοφλήσεις είναι σύμφωνα με A>Γ και D>Β. Οι φορείς πρέπει έτσι να συνεργαστούν σε καθεμία των δύο στρατηγικών για να λάβουν μια υψηλή εξόφληση. Οι παίκτες στο παιχνίδι πρέπει να συμφωνήσουν σχετικά με μια από τις δύο στρατηγικές προκειμένου να παραληφθεί μια υψηλή εξόφληση. Εάν οι φορείς δεν συμφωνούν, μια χαμηλότερη εξόφληση ανταμείβεται. Ένα παράδειγμα ενός παιχνιδιού συντονισμού είναι η ρύθμιση όπου δύο τεχνολογίες είναι διαθέσιμες σε δύο εταιρίες με τα συμβατά προϊόντα, και πρέπει να εκλέξουν μια στρατηγική για να γίνουν τα πρότυπα αγοράς. Εάν και οι δύο εταιρίες συμφωνούν σχετικά με την επιλεγμένη τεχνολογία, οι υψηλές πωλήσεις αναμένονται και για τις δύο εταιρίες. Εάν οι εταιρίες δεν συμφωνούν σχετικά με την τυποποιημένη τεχνολογία, αποτέλεσμα λίγων πωλήσεων. Και οι δύο στρατηγικές είναι ισορροπίες Nash του παιχνιδιού.

Οδηγώντας σε έναν δρόμο, και πρέπει να επιλέξει είτε να οδηγήσει στο αριστερό είτε να οδηγήσει στο δικαίωμα του δρόμου, είναι επίσης ένα παιχνίδι συντονισμού. Παραδείγματος χάριν, με τις εξοφλήσεις 100 που δεν σημαίνουν καμία συντριβή και 0 που σημαίνουν μια συντριβή, το παιχνίδι συντονισμού μπορεί να καθοριστεί με την ακόλουθη μήτρα εξόφλησης:

Το οδηγώντας παιχνίδι
Κίνηση στο αριστερό Κίνηση στο δικαίωμα
Κίνηση στο αριστερό 100, 100 0, 0
Κίνηση στο δικαίωμα 0, 0 100, 100

Σε αυτήν την περίπτωση υπάρχουν δύο καθαρές ισορροπίες Nash στρατηγικής, όταν και οι δύο επιλέγουν είτε οδηγήστε στο αριστερό ή στο δικαίωμα. Εάν αναγνωρίζουμε μικτές στρατηγικές (όπου μια καθαρή στρατηγική επιλέγεται τυχαία, υπό τον όρο κάποιας σταθερής πιθανότητας), κατόπιν υπάρχουν τρεις ισορροπίες Nash για την ίδια περίπτωση: δύο έχουμε δει από τη μορφή καθαρός-στρατηγικής, όπου οι πιθανότητες είναι (0%, 100%) για το φορέα ένα, (0%, 100%) για το φορέα δύο και (100%, 0%) για το φορέα ένα, (100%, 0%) για το φορέα δύο αντίστοιχα. Προσθέτουμε άλλος όπου οι πιθανότητες για κάθε φορέα είναι (50%, 50%).

Δίλημμα φυλακισμένου


Κύριο άρθρο: Δίλημμα φυλακισμένου (αλλά προσέξτε τις διαφορές στον προσανατολισμό της μήτρας εξόφλησης)

Το δίλημμα του φυλακισμένου έχει την ίδια μήτρα εξόφλησης όπως απεικονίζεται για το παιχνίδι συντονισμού, αλλά τώρα γ > Ένα > Δ > Β. Επειδή γ > Α και δ > Β, κάθε φορέας βελτιώνει την κατάστασή του με τη μεταπήδηση από τη στρατηγική #1 στη στρατηγική # 2, ο του οποίου άλλος φορέας αποφασίζει. Το δίλημμα του φυλακισμένου έχει έτσι μια ενιαία ισορροπία Nash: και οι δύο φορείς που επιλέγουν τη στρατηγική #2 ("προδίδοντασ"). Αυτό που έχει κάνει από καιρό αυτό μια ενδιαφέρουσα περίπτωση που μελετά είναι το γεγονός ότι 2D < 2A ("και οι δύο προδίδουν" είναι συνολικά κατώτεροι και από "τους δύο παραμένουν πιστοί"). Η συνολικά βέλτιστη στρατηγική είναι ασταθής δεν είναι μια ισορροπία.

Όπως Θ*Ηαν Stewart το βάλτε, οι "μερικές φορές λογικές αποφάσεις δεν είναι λογικές!"

Σταθερότητα

Η έννοια σταθερότητα, χρήσιμος στην ανάλυση πολλών ειδών ισορροπία μπορέστε επίσης να εφαρμοστείτε στις ισορροπίες Nash.

Μια ισορροπία Nash για ένα μικτό παιχνίδι στρατηγικής είναι σταθερή εάν μια μικρή αλλαγή (συγκεκριμένα μια απειροελάχιστη αλλαγή) στις πιθανότητες για έναν παίκτη οδηγεί σε μια κατάσταση όπου δύο όροι κρατούν:

  1. ο φορέας που δεν άλλαξε δεν έχει καμία καλύτερη στρατηγική στη νέα περίσταση
  2. ο φορέας που άλλαξε παίζει τώρα με μια αυστηρά χειρότερη στρατηγική

Εάν αυτές οι περιπτώσεις και οι δύο συναντιούνται, κατόπιν ένας φορέας με τη μικρή αλλαγή στην αναμιγνύω-στρατηγική τους θα επιστρέψει αμέσως στην ισορροπία Nash. Η ισορροπία λέγεται ότι είναι σταθερή. Εάν ο όρος ένας δεν κρατά ότι έπειτα η ισορροπία είναι ασταθής. Εάν μόνο ο όρος ένα κρατά έπειτα είναι πιθανό να υπάρξει ένας άπειρος αριθμός βέλτιστων στρατηγικών για το φορέα που άλλαξε. Θ*Ιοχν Nash έδειξε ότι η τελευταία κατάσταση δεν θα μπορούσε να προκύψει σε μια σειρά των καθορισμένων με σαφήνεια παιχνιδιών.

Έχουμε και τις σταθερές και ασταθείς ισορροπίες στο παράδειγμα παιχνιδιών συντονισμού ανωτέρω.

Οι ισορροπίες που περιλαμβάνουν τις αναμιγνύω-στρατηγικές με τις πιθανότητες 100% είναι σταθερές. Εάν καθένας φορέας αλλάζει τις πιθανότητές τους ελαφρώς, θα είναι και οι δύο σε μειονεκτική θέση, και ο αντίπαλός τους δεν θα έχει κανέναν λόγο να αλλάξει τη στρατηγική τους στη συνέχεια.

Στην περίπτωση της (50%, 50%) ισορροπίας, υπάρχει αστάθεια. Εάν καθένας φορέας αλλάζει τις πιθανότητές τους, κατόπιν ο άλλος φορέας έχει αμέσως μια καλύτερη στρατηγική σε καθεμία (0%, 100%) ή (100%, 0%).

Η σταθερότητα είναι κρίσιμη στις πρακτικές εφαρμογές των ισορροπιών Nash, δεδομένου ότι η αναμιγνύω-στρατηγική κάθε φορέα δεν είναι τέλεια γνωστή, αλλά πρέπει να προκύψει από τη στατιστική διανομή των ενεργειών τους στο παιχνίδι. Σε αυτήν την περίπτωση οι ασταθείς ισορροπίες είναι πολύ απίθανο να προκύψουν στην πράξη, από οποιοδήποτε λεπτό η αλλαγή στα ποσοστά κάθε στρατηγικής που βλέπει θα οδηγήσει σε μια αλλαγή στη στρατηγική και τη διακοπή της ισορροπίας.

Σημειώστε ότι η σταθερότητα της ισορροπίας συνδέεται με, αλλά όχι το ίδιο πράγμα με τη σταθερότητα μιας στρατηγικής.

Περιστατικό

Εάν ένα παιχνίδι έχει το α μοναδικός Η ισορροπία Nash και παίζεται μεταξύ των φορέων με ορισμένα χαρακτηριστικά, κατόπιν ισχύει (εξ ορισμού για αυτά τα χαρακτηριστικά) ότι το σύνολο στρατηγικής ΝΕ θα υιοθετηθεί. Οι απαραίτητοι και ικανοποιητικοί όροι που καλύπτονται από τους φορείς είναι:

  1. Κάθε φορέας θεωρεί ότι όλοι οι άλλοι συμμετέχοντες είναι λογικοί.
  2. Το παιχνίδι περιγράφει σωστά χρησιμότητα εξόφληση όλων των φορέων.
  3. Οι φορείς είναι άψογοι στην εκτέλεση.
  4. Οι φορείς έχουν την ικανοποιητική νοημοσύνη για να συναγάγουν τη λύση.
  5. Κάθε φορέας είναι λογικός.

Ο συλλογισμός πίσω από αυτό πραγματοποίηση από το ΝΕ είναι ότι οι πρώτοι τέσσερις όροι κάνουν το παιχνίδι της στρατηγικής ΝΕ βέλτιστης για κάθε φορέα, και αυτός από τον πέμπτο όρο προσδιορίζει κάθε φορέα ως βελτιστοποίηση του πράκτορα κάθε ένας θα πάρει την προσωπικά βελτιστοποιώντας στρατηγική.

Όπου οι όροι δεν ικανοποιούνται

Παραδείγματα των προβλημάτων θεωρίας παιχνιδιών στα οποία αυτοί οι όροι δεν ικανοποιούνται:

  1. "Κοτόπουλοφυλή όπλων μια σημαντική εκτίμηση είναι η δυνατότητα ότι ο αντίπαλος είναι παράλογος. Αυτό το κριτήριο δεν μπορεί να ικανοποιηθεί ακόμη και όπου τα πέμπτα κριτήρια είναι πραγματικά αληθινά (έτσι ώστε οι φορείς που δυσπιστούν λανθασμένα κάθε άλλων ορθολογιστική ικανότητα υιοθετούν τις αντίθετος-στρατηγικές στο αναμενόμενο παράλογο παιχνίδι εξ ονόματος αντιπάλων τους).
  2. Το δίλημμα του φυλακισμένου δεν είναι ένα δίλημμα εάν καθένας φορέας είναι ευτυχής να φυλακιστεί κατά τρόπο αόριστο.
  3. Pong έχει ένα ΝΕ που μπορεί να παιχτεί τέλεια από έναν υπολογιστή, αλλά για να κάνει τον άνθρωπο εναντίον. τα παιχνίδια υπολογιστών που ενδιαφέρουν τους προγραμματιστές προσθέτουν τα μικρά λάθη στην εκτέλεση.
  4. Εάν παίζοντας τηθ-TAC-$L*TOE με ένα μικρό παιδί που θέλει απελπισμένα να κερδίσει (ικανοποιώντας τα άλλα κριτήρια) η στρατηγική ΝΕ δεν είναι συχνά βέλτιστη επειδή ο νέος αντίπαλός σας οι ίδιοι δεν θα υιοθετήσει μια βέλτιστη στρατηγική. Κατά την παιχνίδι Κινεζικό σκάκι οι περισσότεροι άνθρωποι είναι αβέβαιοι της στρατηγικής ΝΕ δεδομένου ότι δεν έχουν την παραγωγική δυνατότητα να την παραγάγουν.[ 1 ]
  5. Ακόμα κι αν κάθε φορέας θεωρεί ότι όλοι άλλοι είναι λογικοί ένας από τους μπορεί να υπονομεύσει αυτήν την υπόθεση και να επιλέξει μια (ενδεχομένως αυτοκαταστροφική) στρατηγική. Αυτό συμβαίνει περιστασιακά σε κορυφαίο πόκερ, όταν ένας ειδικός φορέας πηγαίνει εκπληκτικά "στην κλίση".

Όπου οι όροι ικανοποιούνται

Λόγω στους περιορισμένους όρους στους οποίους το ΝΕ μπορεί πραγματικά να παρατηρηθεί, αντιμετωπίζονται σπάνια ως οδηγός για την καθημερινή συμπεριφορά, ή παρατηρηθείς στην πρακτική στις ανθρώπινες διαπραγματεύσεις. Εντούτοις, σαν θεωρητική έννοια μέσα οικονομικά, και η εξελικτική βιολογία το ΝΕ έχει τη μεγάλη επεξηγηματική δύναμη: Σε αυτές τις περιπτώσεις οι όροι ικανοποιούνται γενικά, για τους ακόλουθους λόγους:

  1. Σε αυτές τις μακροπρόθεσμες περιπτώσεις ο μέσος "πράκτορας ` μπορεί να υποτίθεται ότι ενέργησε ` σαν" ήταν λογικοί, επειδή οι πράκτορες που όχι ανταγωνίζονται από την αγορά ή το περιβάλλον (στην τυποποιημένη θεωρία). Αυτό το συμπέρασμα προέρχεται από "σταθερότητα"θεωρία ανωτέρω.
  2. Η εξόφληση στα οικονομικά είναι χρήματα, και στην εξελικτική μετάδοση γονιδίων της βιολογίας, και οι δύο είναι η θεμελιώδης κατώτατη γραμμή επιβίωσης (οι πράκτορες που αγνοούν αυτών δεν θα εμφανιστούν μακροπρόθεσμα).
  3. Η υπόθεση της ορθολογιστικής ικανότητας μεταξύ όλων των συμμετεχόντων είναι βασισμένη στα μακροπρόθεσμα επιχειρήματα χρονικού διαστήματος.
  4. ` αγορά"ή `εξέλιξη"αποδίδεται τη δυνατότητα να εξεταστούν όλες οι στρατηγικές.
  5. Σαν σημείο ένα, ένας παράλογος πράκτορας θεωρείται για να εξαφανιστεί.

Σε αυτές τις καταστάσεις η υπόθεση ότι η στρατηγική παρατηρηθείσα είναι πραγματικά ένα ΝΕ έχει γεννηθεί συχνά από την έρευνα.

Δείτε επίσης

Αναφορές

  • Fudenberg, Έσυρε και Jean Tirole (1991) Θεωρία παιχνιδιών Τύπος MIT.
  • Mehlmann, Α. Του παιχνιδιού προσχεδιαζόμενου! Θεωρία παιχνιδιών στο μύθο και το παράδοξο, Αμερικανική μαθηματική κοινωνία (2000).
  • Morgenstern, Oskar και Θ*Ιοχν βον Neumann (1947) Η θεωρία των παιχνιδιών και της οικονομικής συμπεριφοράς Πανεπιστημιακός Τύπος Princeton
  • Nash, Θ*Ιοχν (1950) "Σημεία ισορροπίας στα παιχνίδια ν-προσώπων" Πρακτικά της εθνικής ακαδημίας των ΗΠΑ 36(1):48-49.


Σημειώσεις

^ Το Nash έχει αποδείξει ότι ένα τέλειο ΝΕ υπάρχει για αυτόν τον τύπο πεπερασμένου εκτενές παιχνίδι μορφής - μπορεί να αντιπροσωπευθεί ως στρατηγική συμμορφωμένος με τους αρχικούς όρους του για ένα παιχνίδι με ένα ΝΕ. Τέτοια παιχνίδια μπορούν να μην έχουν το μοναδικό ΝΕ, αλλά τουλάχιστον μια από τις πολλές στρατηγικές ισορροπίας θα παιζόταν από τους φορείς που έχουν την τέλεια γνώση και των 10150 δέντρα παιχνιδιών.


Θέματα μέσα θεωρία παιχνιδιών
Ορισμοί Κανονικό παιχνίδι μορφής - Εκτενές παιχνίδι μορφής - Συνεταιριστικό παιχνίδι - Σύνολο πληροφοριών - Στρατηγική - Μικτή στρατηγική - Προτίμηση
Έννοιες ισορροπίας Σχέσεις μεταξύ των εννοιών ισορροπίας - Κυρίαρχη ισορροπία στρατηγικής - Ισορροπία Nash - Σuψγαμε-τέλεια ισορροπία Nash - Ψαυες- Nash ισορροπία - Τέλεια ισορροπία ψαυες- Nash - Διαδοχική ισορροπία - Καθαρισμοί ισορροπίας - Σταθερή στρατηγική Evolutionarily
Κατηγορίες παιχνιδιών Συμμετρικό παιχνίδι - Τέλειες πληροφορίες - Δυναμικό παιχνίδι - Επαναλαμβανόμενο παιχνίδι - Κάνοντας σήμα παιχνίδι - Φτηνή συζήτηση - Μηδενικό παιχνίδι - Σχέδιο μηχανισμών
Τύποι ισορροπιών Συγκέντρωση της ισορροπίας - Χωρισμός της ισορροπίας - Πληγή νικητή - Συμβατό σύστημα κινήτρου
Παιχνίδια Δίλημμα φυλακισμένου - Κοτόπουλο - Κυνήγι αρσενικών ελαφιών - Τελεγραφικό παιχνίδι - Ταίριασμα των πενών - Παιχνίδι μειονότητας - Βράχος, Έγγραφο, Ψαλίδι - ...
Θεωρήματα Αρχή αποκάλυψης - Minimax θεώρημα - Θεωρήματα καθαρισμού - Λαϊκό θεώρημα των επαναλαμβανόμενων παιχνιδιών
Σχετικά θέματα Μαθηματικά - Οικονομικά - Συμπεριφοριστικά οικονομικά - Η εξελικτική βιολογία - Εξελικτική θεωρία παιχνιδιών - Γενετική πληθυσμού - Συμπεριφοριστική οικολογία - Κατάλογος θεωρητικών παιχνιδιών
[ ]

 

  > Ελληνικά > en.wikipedia.org (Μηχανή που μεταφράζεται στα ελληνικά)