Στερεογραφική προβολή

Stereographic projection of a circle of radius R onto the x-axis. (x, y) is the projected point, and (x', 0) is the projection.
Στερεογραφική προβολή ενός κύκλου της ακτίνας Ρ επάνω Χ- άξονας. (Χ, Υ) είναι το προβαλλόμενο σημείο, και (Χ ", 0) είναι η προβολή.

χαρτογραφία και γεωμετρία, στερεογραφική προβολή είναι μια χαρτογράφηση που προγράμματα κάθε σημείο για το α σφαίρα επάνω στο α αεροπλάνο εφαπτομένης κατά μήκος ενός ευθύ γραμμή από αντίποδας από σημείο tangency (με μια εξαίρεση: το κέντρο της προβολής, αντιποδικός στο σημείο tangency, δεν προβάλλεται σε οποιοδήποτε σημείο στο euclidean αεροπλάνο θεωρείται όπως αντίστοιχο σε ένα "σημείο στο άπειρο"). Κάποιος πλησιάζει εκείνο το σημείο στο άπειρο με τη συνέχιση σε οποιαδήποτε κατεύθυνση καθόλου όλες από εκείνη την άποψη αυτή η κατάσταση είναι αντίθετα από πραγματικό προβολικό αεροπλάνο, όποιος έχει πολλά σημεία στο άπειρο.

Περιεχόμενο

Ξεχωριστές ιδιότητες

Δύο ξεχωριστές ιδιότητες αυτής της προβολής καταδείχθηκαν κοντά Hipparchus:

  • αυτή η χαρτογράφηση είναι σύμμορφος, Ι.e., συντηρεί τις γωνίες στις οποίες οι καμπύλες διασχίζουν η μια την άλλη, και
  • αυτή η χαρτογράφηση μετασχηματίζει εκείνους τους κύκλους στην επιφάνεια της σφαίρας που όχι πέρασμα μέσω του κέντρου της προβολής στους κύκλους στο αεροπλάνο. Μετασχηματίζει τους κύκλους στη σφαίρα αυτή πέρασμα μέσω του κέντρου της προβολής στις ευθείες γραμμές στο αεροπλάνο (αυτές θεωρούνται μερικές φορές ως κύκλοι μέσω ενός σημείου στο άπειρο).
Μια στερεογραφική προβολή είναι σύμμορφη και προοπτική αλλά μη ίση περιοχή ή εξ ίσου απέχων.

Τύπος

Πολικές συντεταγμένες

Stereographic projection of the Northern hemisphere
Στερεογραφική προβολή του βόρειου ημισφαιρίου

Σε μια σφαίρα, αφήστε ; να είστε αζιμούθιο και ; να είστε ομο-γεωγραφικό πλάτος (γωνιακή απόσταση από τον πόλο). Αφήστε Ρ να είστε η ακτίνα της σφαίρας. Αφήστε τα σημεία της σφαίρας να προβληθούν στερεογραφικά επάνω σε ένα αεροπλάνο που είναι εφαπτομένη στον πόλο. Δώστε τα σημεία της προβολής τις συντεταγμένες;Π (ακτινωτή απόσταση μακρυά από την προέλευση) και;Π. Κατόπιν η προβολή είναι

<math> \theta_P = \phi, \qquad \qquad (1) < /math>
<math> \rho_P = 2 ρ \μαύρισμα {\θήτα \πάνω από 2 }. \qquad \qquad (2) < /math>

Εάν;Λ είναι, αντ' αυτού, γεωγραφικό πλάτος, κατόπιν η εξίσωση για;Π αλλαγές

<math> \rho_P = 2 ρ \μαύρισμα {{\pi \πάνω από 2 } - \theta_L \πάνω από 2 } \qquad \qquad (3) < /math>

ή, ισοδύναμα,

<math> \rho_P = 2 ρ (\SEC \theta_L - \μαύρισμα \theta_L). \,< /math>

Καρτεσιανές συντεταγμένες

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να εκτελεσθεί η στερεογραφική προβολή επάνω σε μια σφαίρα, με βάση την επιλογή όπου σας βάζετε το αεροπλάνο και τη σφαίρα. Κάποιος μπορεί να μεταχειριστεί το αεροπλάνο ως σύνθετοι αριθμοί, και χρησιμοποιήστε το ακόλουθο ζευγάρι των μετασχηματισμών:

<math> \begin{pmatrix } \ΧΙ \\ \eta \\ \ζήτα \end{pmatrix } =

\begin{pmatrix } 2a/(1 + \φραγμός ζ z) \\ \\ 2b/(1 + \φραγμός ζ z) \\ \\ (1 - \φραγμός ζ z)/(1 + \φραγμός ζ z) \end{pmatrix } < /math>

<math>ζ = α + β ι = \frac {\ΧΙ + \eta ι } {1 + \ζήτα }. < /math>

Loxodromes σε μια στερεογραφική προβολή

Είναι δυνατό να βρεθούν οι εξισώσεις loxodromes στη στερεογραφική προβολή. Ένα loxodrome σε μια σφαίρα περιγράφεται κοντά

<math> \phi = ένα \ln \left| \μαύρισμα \left($l*{\theta_L \πάνω από 2 } + {\pi \πάνω από 4 } \right) \right|. < /math>

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (1) λαμβάνουμε

<math> \theta_P = ένα \ln \left| \μαύρισμα \left($l*{\theta_L \πάνω από 2 } + {\pi \πάνω από 4 } \right) \right|. \qquad \qquad (4) < /math>

Η εξίσωση (3) μπορεί να λυθεί για;Λ:

<math> \theta_L = {\pi \πάνω από 2 } - 2 \arctan \rho_P. \qquad \qquad (5)< /math>

Εξίσωση υποκατάστατων (5) στην εξίσωση (4), κατόπιν απλοποιήστε,

<math> \theta_P = ένα \ln \left| \μαύρισμα \left($l*{\pi \πάνω από 2 } - \arctan \rho_P \right) \right|. \qquad \qquad (6)< /math>

Εφαρμόστε τον ακόλουθο trigonometric ταυτότητα

<math> \μαύρισμα \left({$l*\pi \πάνω από 2 } - \θήτα \right) = {1 \άνω των \μαύρισμα \θήτα } < /math>

στην εξίσωση (6), να παραγάγει

<math> \theta_P = ένα \ln \left| {1 \άνω των \μαύρισμα \left(- \arctan \rho_P \δικαίωμα) } \right|< /math>
<math> \theta_P = ένα \ln \left| {1 \πέρα από - \rho_P } \right| = ένα \ln \left| {1 \άνω των \rho_P } \right| = - ένα \ln \rho_P.< /math>

Αφήστε β = ?1/α κατόπιν

<math> \rho_P = e^{b \theta_P }, < /math>

επομένως α loxodrome σε μια στερεογραφική προβολή είναι α ισογώνια σπείρα.

Το Loxodromes μπορεί επίσης να βρεί με το μετασχηματισμό οποιουδήποτε σημείου με το α Μετασχηματισμός Mφbius, ιδιαίτερο με μια "χαρακτηριστική σταθερά" που έχει ένα διαφορετικό από το μηδέν επιχείρημα και έναν συντελεστή μη ίσους με το ένα, και που έχει καθορίσει τα σημεία που χαρτογραφούν διαμετρικά απέναντι από τα σημεία στη σφαίρα. Η συνεχής επανάληψη μπορεί να γίνει με το ξελέπιασμα του κούτσουρου της χαρακτηριστικής σταθεράς. Αυτά τα loxodromes είναι οικογένεια s-shaped Σπείρες με τους ποικίλους βαθμούς "συμπίεσησ".

Δείτε επίσης

Εξωτερική σύνδεση

 

  > Ελληνικά > en.wikipedia.org (Μηχανή που μεταφράζεται στα ελληνικά)