Μήτρα Vandermonde

γραμμική άλγεβρα, α Μήτρα Vandermonde, ονομασμένος κατόπιν Θ*Αλεξανδρε- Thιophile Vandermonde, είναι α μήτρα με το α γεωμετρική πρόοδος σε κάθε σειρά, Ι.ε

<math>Β = \begin{bmatrix }

1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \σημεία & \αλπχα_1^{ν-1 } \ \ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \σημεία & \αλπχα_2^{ν-1 } \ \ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \σημεία & \αλπχα_3^{ν-1 } \ \ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \σημεία & \αλπχα_μ^{ν-1 } \ \ \end{bmatrix}< /math> ή

<math>V_{i,j } = \alpha_i^{j-1}< /math>

για όλους τους δείκτες ι και j. (Μερικοί συντάκτες χρησιμοποιούν μεταθέστε από την ανωτέρω μήτρα.)

καθοριστικός από ν Χ ν Η μήτρα Vandermonde μπορεί να εκφραστεί όπως:

<math> \det(V) = \prod_{1 \LE η&λτj \LE ν } (\alpha_j - \alpha_i). < /math>

Ο ανωτέρω καθοριστικός παράγοντας καλείται μερικές φορές διακρίνων, αν και πολλοί συντάκτες, συμπεριλαμβανομένης αυτής της εγκυκλοπαίδειας, αναφερθείτε στη διακρίνουσα ως τετράγωνο αυτού του καθοριστικού παράγοντα.

Χρησιμοποίηση Τύπος Leibniz για τον καθοριστικό παράγοντα, μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτόν τον τύπο όπως

<math> \det(V) = \sum_{$l*\σίγμα \σε S_n } \sgn($l*\sigma) \, \alpha_1^{$l*\σηγμα(1)-1 } \cdots \alpha_ρ{$l*\σηγμα(ν)-1 }, < /math>

όπου Θ*ςν δείχνει το σύνολο μεταλλαγές {1, 2, ..., ν}, και sgn(;) δείχνει υπογραφή από τη μεταλλαγή;.

Εάν μ;ν, κατόπιν η μήτρα Β έχει το μέγιστο τάξη (μ) εάν και μόνο εάν όλοι;ι είναι ευδιάκριτος.

Πότε δύο ή περισσότεροι;ι είναι ίσος, το αντίστοιχο πολυωνυμικό πρόβλημα παρεμβολής είναι άρρωστος-τεθειμένος. Σε εκείνη την περίπτωση κάποια μπορεί να χρησιμοποιήσει μια γενίκευση αποκαλούμενη συμβάλλουσες μήτρες Vandermonde, όποιος κάνει τη μήτρα θετικός καθορισμένος διατηρώντας τις περισσότερες ιδιότητες. Εάν;ι =;ι+ 1 =... =;ι+Κ και;ι ; ;ι-1, κατόπιν (ι + Κ)th η σειρά δίνεται κοντά

<math> V_{i+k,j } = \begin{cases } 0, & \mbox{if } j \LE Κ \\ \frac{($l*j-1)!}{($l*j-K-1)!} \αλπχα_η^{ι-Κ-1 }, & \mbox{if } j > Κ. \end{cases } < /math>

Ο ανωτέρω τύπος για τις συμβάλλουσες μήτρες Vandermonde μπορεί να παραχθεί εύκολα με να αφήσει δύο παραμέτρους <math> \alpha_i< /math> και <math> \alpha_j< /math> πηγαίνετε αυθαίρετα ο ένας κοντά στον άλλο. Το διάνυσμα διαφοράς μεταξύ των σειρών που αντιστοιχούν σε <math> \alpha_i< /math> και <math> \alpha_j< /math> ξελεπιασμένος σε μια σταθερά παράγει την ανωτέρω εξίσωση (για Κ = 1). Ομοίως, οι περιπτώσεις Κ > 1 λαμβάνεται από τις υψηλότερες διαφορές διαταγής. Συνεπώς, οι συμβάλλουσες σειρές είναι παράγωγα της αρχικής σειράς Vandermonde.

Εφαρμογές

Αυτές οι μήτρες είναι χρήσιμες μέσα πολυωνυμική παρεμβολή, από την επίλυση σύστημα των γραμμικών εξισώσεων VU = Υ για u με Β ν Χ ν Η μήτρα Vandermonde είναι ισοδύναμη με την εύρεση συντελεστές uj από το πολυώνυμο

<math> Π (X) = \σuμ_{ι=0}^{ν-1 } u_j x^j < /math>

από το βαθμό; ν?1 που έχει τις τιμές Υι ;ι.

Η ορίζουσα Vandermonde διαδραματίζει έναν κεντρικό ρόλο Τύπος Frobenius, όποιος δίνει χαρακτήρας κατηγορίες conjugacy αντιπροσωπεύσεις από συμμετρική ομάδα.

Όταν οι τιμές <math> \alpha_k< /math> σειρά πέρα από τις δυνάμεις του α πεπερασμένος τομέας, κατόπιν ο καθοριστικός παράγοντας είναι συχνότερα γνωστός ως Καθοριστικός παράγοντας Moore, όποιος έχει διάφορες ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

Οι συμβάλλουσες μήτρες Vandermonde χρησιμοποιούνται μέσα Παρεμβολή Hermite.

Μια συνήθως γνωστή ειδική μήτρα Vandermonde είναι ιδιαίτερος μετασχηματισμός κατά Φουριέ μήτρα.

Δείτε επίσης

  • Lagrange πολυώνυμο
  • Wronskian

Αναφορές

  • Θ*Ρογερ Α. Κέρατο και Charles R. Johnson, Θέματα στην ανάλυση μητρών, (1991) Πανεπιστημιακός Τύπος του Καίμπριτζ. Δείτε την παράγραφο 6.1.
  • Θ*Ωηλληαμ Fulton και Joe Harris, Θεωρία αντιπροσώπευσης, Μια πρώτη σειρά μαθημάτων (1991) Αλτης Verlag Νέα Υόρκη, ISBN 0-387-974495-4 Το κεφάλαιο 4 αναθεωρεί τη θεωρία αντιπροσώπευσης των συμμετρικών ομάδων, συμπεριλαμβανομένου του ρόλου της ορίζουσας Vandermonde.
  • Δαβίδ Goss, Βασικές δομές της αριθμητικής τομέων λειτουργίας (1996) Αλτης Verlag Νέα Υόρκη, ISBN 3-540-63541-6 Το κεφάλαιο 1 αναθεωρεί τον καθοριστικό παράγοντα Moore

 

  > Ελληνικά > en.wikipedia.org (Μηχανή που μεταφράζεται στα ελληνικά)