Fonction harmonique

Dans , physique mathématique et la théorie de , a fonction harmonique est a deux fois fonction f : UR (où U est de Rn) ce qui satisfait , i.e.

<math> ;

\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_ñ2} = 0 </math> ; partout dessus U. Ceci est également souvent écrit As

<math>\nabla^2 f = 0</math> ; ou <math>\Delta f = 0.</math> ;

Là existe également une définition apparemment plus faible qui est équivalente. En effet une fonction est harmonique si et seulement si elle est faiblement harmonique.

Une fonction qui satisfait le \ge 0</math> du <math>\Delta f ; serait subharmonic.

Table des matières

Exemples

Les exemples des fonctions harmoniques de deux variables sont :

  • la vraie et imaginaire partie de toute fonction holoèdre
  • la fonction
f(X1, X2) = (X12 + X22)
défini dessus R2 \ {0} (e.g. le potentiel électrique dû à une ligne charge, et le potentiel de pesanteur dû à une longue masse cylindrique)
  • la fonction f(X1, X2) = (X1)sin(X2).

Les exemples des fonctions harmoniques de trois variables sont :

Exemples des fonctions harmoniques de n les variables sont :

  • les constants, les linéaires et affinent des fonctions sur tous de Rn (par exemple, le potentiel électrique entre les plats de a , et le potentiel de pesanteur d'une galette)
  • la fonction f(X1,...,Xn) = (X12 + ... + Xn2)1 ?n/2 sur Rn \ {0} pour n ? 2.

Remarques

L'ensemble de fonctions harmoniques sur un ensemble ouvert donné U peut être vu en tant que grain de l'opérateur de Laplace ? et est donc a plus de R: les sommes, les différences et les multiples scalaires des fonctions harmoniques sont encore harmonique.

Si f est allumée une fonction harmonique U, puis tous de f sont également les fonctions harmoniques dessus U.

De plusieurs manières, les fonctions harmoniques sont de vrais analogues à . Toutes les fonctions harmoniques sont analytique, I.e. ils peuvent être localement exprimés As série entière. C'est un fait général environ opérateurs elliptiques, dont le Laplacian est un exemple important.

Raccordements avec la théorie complexe de fonction

La vraie et imaginaire partie de toutes fonctions harmoniques de rendement holoèdre de fonction dessus R2. Il y a réciproquement un opérateur prenant une fonction harmonique u sur une région dedans R2 au son conjugé d'harmonique v, pour lequel u+iv est une fonction holoèdre ; ici v est bien défini jusqu'à une vraie constante. C'est bien connu dans les applications en tant que (essentiellement) Hilbert transforment; c'est également un exemple de base dedans , en liaison avec opérateurs intégraux singuliers. Géométriquement u et v sont reliés en tant qu'ayant trajectoire orthogonale, loin des zéros de la fonction holoèdre fondamentale ; les découpes sur lesquelles u et v sont la croix constante à angles droits.

Propriétés des fonctions harmoniques

Quelques propriétés importantes des fonctions harmoniques peuvent être déduites de l'équation de Laplace.

Le principe de maximum

Les fonctions harmoniques satisfont le suivant principe de maximum: si K en est de U, puis f, limité à K, atteint le son maximum et minimum sur frontière de K. C'est-à-dire, f ne peut pas avoir des maximum ou des minimum locaux, autre que le cas exceptionnel où f est constant.

La propriété de valeur moyenne

Si B(X,r) est une boule avec le centre X et rayon r ce qui est complètement contenu dedans U, puis la valeur f(X) de la fonction harmonique f au centre de la boule est donné par la valeur moyenne de f sur la surface de la boule ; cette valeur moyenne est également égale à la valeur moyenne de f à l'intérieur de la boule. En d'autres termes

<math> ;

 u(x) = \frac{1}{\omega_n r^{n-1}}\oint_{\partial B(x, r)} u \, dS
      = r^n}\int_{B de \frac{n}{\omega_n (x,r)} u \, dV

</math> ;

là où <math>\omega_n</math> ; est la superficie du sphère d'unité dans n dimensions.

Le théorème de Liouville

Si f est une fonction harmonique définie sur tous de Rn ce qui est lié ci-dessus ou ci-dessous lié, puis f est la constante (comparez Le théorème de Liouville pour des fonctions d'une variable complexe).

Voyez également

 

  > Français > en.wikipedia.org (Traduit par ordinateur dans le Français)