Mathématiques

Mathématiques est souvent défini comme étude des matières comme quantité, structure, l'espace, et changement. Une autre vue, tenue par beaucoup de mathématiciens, est que les mathématiques sont le corps de la connaissance justifié près raisonnement déductif, à partir de et .

Des mathématiques pratiques, dans presque chaque société, sont employées pour des buts tels que comptabilité, mesure terre, ou prévision astronomique événements. La découverte ou la recherche mathématique implique souvent de découvrir et cataloguer des modèles, sans respect pour l'application. Est le fait remarquable que les mathématiques "les plus pures" s'avèrent souvent avoir des applications pratiques ce qui a appelé "l'efficacité peu raisonnable des mathématiques."aujourd'hui, les sciences normales, , , et dépendent fortement de nouvelles découvertes mathématiques.

Le mot "mathématiques" vient du (máthema) signification l'"science, la connaissance, ou étude" et ??????????? (mathematikós) signification "affectueuse de l'étude". Il est souvent abrégé maths dans et maths dans .

Table des matières

Histoire

Article principal :

L'évolution des mathématiques pourrait être vue pour être une série toujours croissante d'abstractions, ou alternativement une expansion des thèmes. La première abstraction était probablement celle de nombres. La réalisation que deux pommes et deux oranges ont quelque chose en commun, à savoir ce elles remplissent mains d'exactement une personne, étaient une percée dans la pensée humaine. En plus d'identifier comment à compte concret objets, préhistorique les peuples ont également identifié comment compter abstrait quantités, comme temps -- , saisons, années. (e.g. addition, soustraction, multiplication et division), naturellement suivi. Les monuments monolithiques témoignent à une connaissance de la géométrie.

Davantage de besoin d'étapes écriture ou un autre système pour l'enregistrement numérote comme contrôles ou les cordes nouées ont appelé khipu utilisé par Empire d'Inca pour stocker des données numériques. Systèmes de numération ont été beaucoup et divers.

Historiquement, les disciplines principales dans des mathématiques ont surgi, dès le début de l'histoire enregistrée, hors de la nécessité de faire des calculs sur l'imposition et le commerce, de comprendre les rapports parmi des nombres, de mesurer la terre, et de prévoir des événements astronomiques. Ces besoins peuvent être rudement liés à la large subdivision des mathématiques, dans les études de quantité, structure, l'espace, et changement.

Des mathématiques depuis ont été beaucoup prolongées, et il y a eu une interaction fructueuse entre les mathématiques et la science, à l'avantage de tous les deux.

Des découvertes mathématiques ont été faites à travers l'histoire et continuent à être faites aujourd'hui.

Inspiration, esthétique, et mathématiques pures et appliquées

Les mathématiques surgissent partout où il y a des problèmes difficiles qui méritent la recherche mentale soigneuse. D'abord ces derniers ont été trouvés dedans commerce, mesure de terre et plus tard astronomie. De nos jours, les mathématiques dérivent beaucoup d'inspiration des sciences normales et il n'est pas rare que de nouvelles mathématiques soient frayées un chemin près physiciens, bien qu'il puisse devoir être remanié dans une langue plus rigoureuse. Dans le passé a inventé calcul infinitésimal et Feynman sien Intégrale de chemin de Feynman, par un mélange du raisonnement et de l'perspicacité physique ; il se produit trop avec d'aujourd'hui théorie de corde.

Les mathématiques sont appropriées pour le sujet qui les a inspirées, et peuvent être appliquées pour résoudre d'autres problèmes du fait le même secteur. Il y a également des mathématiques qui joignent les actions générales des concepts, et exige pour être mis sur 'un dénominateur commun 'avec des idées existantes. Pendant dix-neuvième siècle cette distinction durcie vers le haut, dans par opposition à mathématiques pures.

Les mathématiques intéressent des mathématiciens en raison du son élégance, la qualité intrinsèque ou intérieur , il est difficile pour que n'importe qui articule que. Simplicité et généralité sont évalués. Ces propriétés apparemment incompatibles peuvent combiner dans un morceau de mathématiques : une unification pour plusieurs sous-champs, ou un outil utile pour le terrain communal calculs. Des mathématiques pures, il peut sembler, a la valeur seulement dans sa beauté. Mais une partie de mathématiques, qui ont été considérées seulement d'intérêt aux mathématiciens, a fréquemment des mathématiques appliquées plus tard devenues en raison d'une certaine nouvelle perspicacité ou champ d'étude s'ouvrant, comme si elle a prévu les besoins postérieurs.

Notation, langue, et rigueur

Article principal : Notation mathématique

L'écriture mathématique n'est pas facilement accessible au layperson. Une brève histoire de temps, Colporter de Stephen'best-seller 1988 de s, contenu un simple équation mathématique. C'était le compromis de l'auteur avec le conseil de l'éditeur, cette chaque équation divisent en deux les ventes.

Les raisons de l'inaccessibilité même des mathématiques soigneux-exprimées peuvent être partiellement expliquées. Les mathématiciens contemporains tâchent d'être aussi clair comme possible dans les choses qu'ils disent et particulièrement dans les choses ils écrivent (ceci ils ont en commun avec des avocats). Ils se réfèrent rigueur. Pour accomplir la rigueur, les mathématiciens se sont prolongés langage naturel. Il y a vocabulaire précis-défini pour se rapporter aux objets mathématiques, et énoncer certaines relations communes. Il y a un accompagnement notation mathématique, comme lequel a un contenu défini, et a également un strict (sous l'influence de , a plus souvent maintenant appelé syntaxe). Certains des termes utilisés dans les mathématiques sont également des mathématiques extérieures communes, comme anneau, et catégorie; mais ne sont pas tels qu'on peut impliquer les significations. Certains sont spécifiques aux mathématiques, comme homotopy et . On lui a dit cela Henri Poincaré a été seulement élu au Académie Française de sorte qu'il ait pu leur dire comment définir automorphe en leur dictionnaire.

La rigueur est fondamentalement une question de preuve mathématique. Les mathématiciens veulent que leurs théorèmes suivent mécaniquement de au moyen de formel raisonnement axiomatique. Ce doit éviter les 'théorèmes confondus, basés sur des intuitions faillibles ; de quelle abondance des exemples se sont produites dans l'histoire du sujet (par exemple, dans analyse mathématique).

Les axiomes dans la pensée traditionnelle étaient des 'vérités de art de l'auto-portrait-evident, mais cette conception s'avère ne pas être réalisable en poussant les frontières mathématiques. À un niveau formel, un axiome est juste une corde des symboles, qui a une signification intrinsèque seulement dans le contexte de toutes les formules derivable d' système axiomatique. C'était le but de Le programme de Hilbert pour mettre toutes les mathématiques sur une base axiomatique solide, mais selon Théorème de l'imperfection de Gödel chaque (assez fort) système d'axiome a des formules undecidable ; et ainsi une finale axiomatisation des mathématiques est indisponible. Néanmoins des mathématiques sont souvent imaginées pour n'être (jusque son contenu formel) rien mais la théorie des ensembles dans de l'axiomatisation, dans le sens que chaque rapport ou preuve mathématique pourrait être moulé dans des formules dans la théorie des ensembles.

Les mathématiques sont-elles une science ?

s'est rapporté à des mathématiques As la reine des sciences. Le mathématicien-physicien Leon M. Lederman a raillé : "les physiciens reportent seulement aux mathématiciens, et les mathématiciens reportent seulement à Dieu (bien que vous pouvez être dur serré trouver un mathématicien qui modeste)."

Si on considère la science pour être strictement au sujet du monde physique, puis les mathématiques, ou au moins les mathématiques pures, ne sont pas une science. Une conception alternative est que certains domaines scientifiques (tels que la physique théorique) sont des mathématiques avec les axiomes qui sont prévus pour correspondre à la réalité. En fait, le physicien théorique, J. M. Ziman, proposé que la science soit la connaissance publique et inclut ainsi des mathématiques. [ 1 ]

De toute façon, les mathématiques partagent beaucoup en commun avec beaucoup de champs en sciences physiques, notamment l'exploration des conséquences logiques des prétentions. Intuition et expérimentation jouez également un rôle dans la formulation de dans des mathématiques et les sciences (d'autre).

Vue d'ensemble des champs des mathématiques

Comme remarquable ci-dessus, les disciplines principales dans des mathématiques ont provenu la première fois de la nécessité de faire des calculs dans le commerce, de comprendre les rapports entre les nombres, de mesurer la terre, et de prévoir astronomique événements. Ces quatre besoins peuvent être rudement liés à la large subdivision des mathématiques dans l'étude de la quantité, de la structure, de l'espace, et du changement (i.e. , , et analyse). En plus de ces soucis principaux, il y a également des subdivisions consacrées aux liens les explorant du coeur des mathématiques à d'autres champs : 對邏輯和對集合理論(基礎) 並且對各種各樣的科學(應用數學的) 經驗主義的數學。

L'étude des débuts de quantité avec nombres, d'abord le familier nombres normaux et et leur , qui sont caractérisées dedans . Les propriétés plus profondes des nombres entiers sont étudiées dedans théorie de nombre.

L'étude de la structure a commencé par des investigations sur Triples pythagoriens. Néolithique monuments sur sont construits en utilisant des triples pythagoriens. Par la suite, ceci a mené à l'invention des nombres plus abstraits, tels que la racine carrée de deux. Les propriétés structurales plus profondes des nombres sont étudiées dedans et la recherche sur , anneaux, et d'autres sytems de nombres abstraits. Inclus est le concept important de vecteurs, généralisé à les espaces de vecteur et étudié dedans algèbre linéaire. L'étude des vecteurs combine trois des secteurs fondamentaux des mathématiques, de la quantité, de la structure, et de l'espace.

L'étude de l'espace commence avec , commençant par . Trigonométrie les cartels espacent et numérotent. L'étude moderne de l'espace généralise ces idées d'inclure la géométrie haut-dimensionnelle, Geometries non-Euclidiens (qui jouent un rôle central dedans ) et topologie. La quantité et espacent les deux le jeu un rôle dedans , la géométrie différentielle, et . Dans la géométrie différentielle sont les concepts de faisceaux de fibres, calcul sur des tubulures. Dans la géométrie algébrique est la description des objets géométriques comme des ensembles de solution d'équations polynomal, combinant les concepts de la quantité et de l'espace, et également l'étude de groupes topologiques, qui combinent la structure et l'espace. Groupes de Lie sont employés pour étudier l'espace, pour le structurer, et changer. La topologie dans toutes ses nombreuses ramifications peut être le plus grand secteur de croissance dedans 20ème siècle mathématiques.

L'arrangement et le changement de décrire est un thème commun en sciences normales, et a été développé comme outil le plus utile. Le concept central employé pour décrire une quantité changeante est celui de a fonction. Beaucoup de problèmes mènent tout à fait naturellement aux relations entre une quantité et son taux de changement, et aux méthodes de équations. Les nombres employés pour représenter des quantités continues sont vrais nombres, et l'étude détaillée de leurs propriétés et des propriétés des fonctions à valeurs réelles est connue As vraie analyse. 這些被推斷了, 以方根的包括陰性一個和對 , qui sont étudiés dedans . concentre l'attention sur les espaces (en général infini-dimensionnels) des fonctions. Une de beaucoup d'applications d'analyse fonctionnelle est la mécanique quantique Beaucoup de phénomènes en nature peuvent être décrits près ; précisent les manières dont plusieurs de ces systèmes montrent imprévisible pourtant toujours déterministe comportement.

Au delà de quantité, structure, l'espace, et changement sont les secteurs des mathématiques pures qui peuvent être approchés seulement par le raisonnement déductif. Afin de clarifier bases des mathématiques, les champs de et la théorie des ensembles ont été développés. Logique mathématique, en laquelle se divise théorie de récursion, , et théorie de preuve, est maintenant étroitement lié à . Quand ordinateurs électroniques ont été la première fois conçus, plusieurs concepts théoriques essentiels dedans ont été formés par des mathématiciens, menant aux champs de théorie de computability, , et . Plusieurs de ces matières sont maintenant étudiées dedans informatique théorique. est le nom commun pour les champs des mathématiques le plus généralement utiles en informatique.

Un champ important dedans est statistiques, qui emploie théorie des probabilités comme outil et permet la description, l'analyse, et la prévision des phénomènes où les jeux fortuits par partie. Il est employé dans toutes les sciences. Analyse numérique étudie des méthodes pour résoudre efficacement une large gamme des problèmes mathématiques, qui sont au delà des capacités humaines, numériquement sur des ordinateurs, et de la prise arrondissage des erreurs d'autres sources d'erreur en considération pour obtenir des réponses croyables.

Thèmes principaux dans les mathématiques

按字母順序和細分類 liste de matières mathématiques est disponible. La liste suivante de thèmes et de liens donne juste un avis possible. Pour un plus plein traitement, voyez Secteurs des mathématiques ou liste de listes de matières mathématiques.

Quantité

Ceci commence à partir des mesures explicites des tailles des nombres ou les ensembles, ou les manières de trouver de telles mesures.

<math>1, 2, \ldots</math> ; <math>-1, 0, 1, \ldots</math> ; <math>\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125, \ldots</math> ; <math>\pi, e, \sqrt{2}, \ldots</math> ; <math>i, 3i+2, e^{i\pi/3}, \ldots</math> ;
Nombres normaux Nombres raisonnables Vrais nombres
NombreNombre normalNombres raisonnablesVrais nombresNombres de HypercomplexQuaternionsOctonionsSedenionsNombres de HyperrealNombres surréalistesNombres ordinauxp- nombres adicOrdres de nombre entierConstantes mathématiquesNoms de nombreBase


Structure

Goupillant en bas des idées de taille, symétrie, et structure mathématique.
Théorie de nombre
Topologie Théorie d'ordre
Théorie de nombreAnalyseTopologieAlgèbre linéaireAlgèbre universelleThéorie d'ordreThéorie de mesure

L'espace

Une approche plus visuelle aux mathématiques.
Topologie Trigonométrie La géométrie différentielle La géométrie de fractale
TopologieTrigonométrieLa géométrie différentielle有差別的拓撲結構Topologie algébriqueAlgèbre linéaireLa géométrie de fractale

Changement

Manières d'exprimer et manipuler le changement des fonctions mathématiques, et changements entre les nombres.
<math>36 \div 9 = 4</math> ; <math>\int 1_S\, d\mu=\mu(S)</math> ;
Calcul de vecteur Analyse
<math>\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c</math> ;
Équations
Vector calculusAnalysisDifferential equations – Dynamical systems – Chaos theory – List of functions

Foundations and methods

Approches à l'arrangement la nature des mathématiques.
Philosophie des mathématiquesIntuitionism mathématiqueConstructivisme mathématiqueBases des mathématiquesLa théorie des ensemblesLogique symboliqueLogiqueMathématiques RenverséesTableau des symboles mathématiques

Mathématiques discrètes

implique les techniques qui s'appliquent aux objets qui peuvent seulement prendre des valeurs spécifiques et séparées.
<math>[1,2,3][1,3,2]</math> ;
<math>[2,1,3][2,3,1]</math> ;
<math>[3,1,2][3,2,1]</math> ;

Mathématiques appliquées

emploie la pleine connaissance des mathématiques pour résoudre des problèmes réels.
Physique mathématiqueMécanique liquideAnalyse numériqueOptimisationProbabilitéStatistiquesMathématiques financièresBiologie mathématique

Théorèmes importants

Ces théorèmes ont intéressé des mathématiciens et des non-mathématiciens de même.
Voyez liste de théorèmes pour plus
Théorème pythagorienLe dernier théorème de FermatThéorèmes de l'imperfection de GödelThéorème fondamental d'algèbreThéorème fondamental de calculL'argument diagonal du chantreLe lemme de ZornL'identité d'EulerThèse d'Église-Turingthéorèmes de classification des surfacesThéorème de Gauss-CapotRéciprocité quadratiqueThéorème de Riemann-Roch.

Conjectures importantes

Voyez liste de conjectures pour plus

Ce sont certains des problèmes non résolus principaux dans les mathématiques.
La conjecture de GoldbachJumelez La Conjecture PrincipaleHypothèse de RiemannConjecture de PoincaréConjecture de Collatz - ouvrez-vous Problèmes de Hilbert.


Histoire et le monde des mathématiciens

Voyez également liste de matières d'histoire de mathématiques

Chronologie des mathématiquesPrix D'AbelProblèmes Professionnels De Millénium (Prix De Maths D'Argile)Concours de mathématiquesPensée latéraleCapacités et issues mathématiques de genre

Mathématiques et d'autres champs

Mathématiques et architectureMathématiques et éducationMathématiques des balances musicales

Idées fausses communes

Les mathématiques ne sont pas un système intellectuel fermé, dans lequel tout a été déjà établi. Il n'y a aucun manque de problèmes non résolus.

Pseudomathematics est une forme de mathématique-comme activité entreprise dehors milieu universitaire, et de temps en temps par les mathématiciens eux-mêmes. Il se compose souvent des attaques déterminées sur des questions célèbres, se composant preuve-essaye fait d'une manière d'isolement (c'est-à-dire, longs papiers non soutenus par théorie précédemment éditée). Le rapport avec des mathématiques courantes est semblable à celui entre pseudoscience et la vraie science. Les idées fausses impliquées sont normalement basées dessus :

Le cas de Kurt Heegnerle 'travail de s prouve que l'établissement mathématique n'est ni infaillible, ni peu disposé à admettre l'erreur en évaluant travail 'd'amateur l''. Et comme astronomie, les mathématiques doivent beaucoup aux contribuants d'amateur comme Fermat et Mersenne.

Les mathématiques ne sont pas . Bien que le calcul arithmétique soit crucial aux comptables, leur souci principal doit vérifier que les calculs sont corrects par un système des doublechecks. Les avances dans des mathématiques abstraites sont la plupart du temps non pertinentes à l'efficacité de la comptabilité concrète, mais l'utilisation des ordinateurs clairement importe.

Les mathématiques ne sont pas numerology. Utilisations de Numerology pour ramener des noms et des dates vers le bas aux nombres, mais assigne des émotions ou des traits à ces nombres intuitivement ou sur la base des traditions.

Les concepts et les théorèmes mathématiques n'ont pas besoin de correspondre à n'importe quoi dans le monde physique. Dans le cas de , par exemple, il n'est pas approprié aux mathématiques de savoir si des points et des lignes existez dans n'importe quel sens physique, comme géométrie commence à partir des axiomes et les postulats au sujet des entités abstraites appelées "se dirige" et "raye" le ce nous introduisent dans le système. Tandis que ces axiomes sont dérivés de nos perceptions et expérience, ils ne dépendent pas d'elles. Mais, les mathématiques sont extrêmement utiles pour résoudre des problèmes réels. C'est ce fait que cela a mené Eugene Wigner à écrire un essai dessus L'efficacité peu raisonnable des mathématiques en sciences normales.

Les mathématiques ne sont pas au sujet de sans restriction s'avérer de théorème, plus que littérature est au sujet de la construction de phrases. Cependant, les théorèmes sont des éléments de théories formelles, et dans certains cas peut produire des preuves de ces théorèmes plus ou moins automatiquement, au moyen de tireurs d'epreuves automatisés de théorème. Ces techniques ont prouvé utile dedans vérification formelle des programmes et des conceptions de matériel. Cependant, ils en sont peu susceptibles de produire (à court terme, au moins) des mathématiques avec valeur esthétique largement identifiée.

Voyez également

Bibliographie

  • Benson, Donald C., Le Moment De la Preuve : Épiphanies Mathématiques (1999).
  • Courant, R. et H. Robbins, Quelles Sont Des Mathématiques ? (1941) ;
  • Davis, Philip J. et Hersh, Reuben, L'Expérience Mathématique. Birkhäuser, Boston, La Masse., 1980. Une introduction douce au monde des mathématiques.
  • Boyer, Karl B., Histoire des mathématiques, Wiley, 2ème édition 1998 édition disponible et 1ère 1968 . Une histoire concise des mathématiques du concept du nombre aux mathématiques contemporaines.
  • Gullberg, Janv., Mathématiques -- de la naissance des nombres. W.W. Norton, 1996. Une vue d'ensemble encyclopédique des mathématiques a présenté en langage clair et simple.
  • Hazewinkel, Michiel (ED), Encyclopédie des mathématiques. Éditeurs D'Universitaire De Kluwer 2000. Une version traduite et augmentée d'une encyclopédie soviétique de maths, en dix volumes (chers), le travail le plus complet et le plus bien fondé disponible. En outre en livre broché et sur le CD-ROM.
  • Kline, M., Pensée mathématique d'antique aux temps modernes (1973).
  • Pappas, Theoni, La Joie Des Mathématiques (1989).

Liens externes

 

  > Français > en.wikipedia.org (Traduit par ordinateur dans le Français)