Trigonométrie sphérique

Spherical triangle
Triangle sphérique

Trigonométrie sphérique est une partie de la géométrie sphérique ce affaires avec polygones (en particulier triangles) sur sphère et explique comment trouver des relations entre l'impliqué angles. C'est de grande importance pour des calculs dedans astronomie et terre-surface et orbitale et espace navigation.

Sur la surface d'une sphère, l'analogue le plus étroit à directement lignes soyez grands cercles, i.e. cercles dont le centre coïncident avec le centre de la sphère (par exemple, méridiens et équateur sont les grands cercles sur La terre). Comme lignes sur a avion, les grands cercles sur une sphère sont le raccordement le plus étroit de deux points (si vous vous contraignez aux lignes sur la sphère). (cf. géodésique)

Un secteur sur la sphère qui est liée près arcs de grands cercles s'appelle le a sphérique polygone. Notez cela, à la différence du cas sur un avion, les "biangles" sphériques (des analogues recto-verso à la triangle) sont possibles (pensez à éplucher une orange).

côtés de ces polygones le plus commodément sont indiqués pas par leur longueur mais par l'angle sous lequel ses points finaux apparaissent une fois regardés du centre de la sphère. Notez que ceci angle d'arc, mesuré dedans radians, et multiplié par la sphère rayon, est la longueur d'arc.

Par conséquent, a triangle sphérique est indiqué comme d'habitude par ses angles faisants le coin et ses côtés, mais les côtés sont donnés pas par leur longueur, mais par leur angle d'arc.

Remarquablement, la somme des angles faisants le coin est pas 180°, comme dans une triangle planaire, mais toujours plus grand. Cet excédent s'appelle excès sphérique E: E = ? + ? + ? ? 180°. Il permet le calcul de la superficie A entouré par la triangle, par ce qu'est simplement donné A = R2 · E. Here, R est le rayon de la sphère ; si R = 1, puis A = E. En d'autres termes : E est angle plein, comme mesuré dedans stéradians, enjambé vers le haut par la triangle. Cette formule est une application de Théorème de Gauss-Capot.

Pour résoudre un problème géométrique sur la sphère, on dissèque la figure appropriée dans sphérique droit triangles (i.e. : un des angles faisants le coin de la triangle est 90°) parce qu'on peut alors employer le pentagone de Neper :

Neper's Circle shows the relations of parts of a right spherical triangle
Le cercle de Neper montre les relations des parties d'une bonne triangle sphérique

Neper'pentagone de s (également connu As Le cercle de Neper) est a aide mnémonique pour trouver facilement tous relations entre les angles dans une bonne triangle sphérique :

Écrivez les six angles de la triangle sous forme de cercle, collage à l'ordre comme ils apparaissent dans la triangle (i.e. : commencez par un angle faisant le coin, écrivez l'angle d'arc d'un côté ci-joint à côté de lui, procédez au prochain angle faisant le coin, etc... et étroit le cercle). Alors biffez l'angle 90° faisant le coin et remplacez les angles d'arc à côté de lui par leur complément avec 90° (i.e. remplacez, parole, a de 90° ? a). Les cinq nombres que vous avez maintenant sur le Pentagone de votre Neper de papier de forme (ou le cercle de Neper). Pour eux, il soutient que cosinus de chaque angle est égal à :

  • le produit du cotangents des angles écrits à côté de lui
  • le produit du sinus des deux angles écrits opposés à lui

Voyez également Formule de Haversine, ce qui relie les longueurs des côtés et des angles dans les triangles sphériques sous une forme numériquement stable pour la navigation.

Voyez également

  • la géométrie sphérique
  • distance sphérique

Lien externe

 

  > Français > en.wikipedia.org (Traduit par ordinateur dans le Français)