Função gaussian

As curvas gaussian parametrised para statistics

A Função gaussian (nomeado em seguida ) é a do formulário:

<math>f(x) = um e^{-(x-b)^2/c^2}</math>

para algum a > 0. b, e c.

Funções gaussian com c2 = 2 são do . Isto significa que o Fourier transforma de uma função gaussian é não somente uma outra função gaussian mas um a da função cujo Fourier transforma foi feito exame.

As funções gaussian são entre aquelas funções que são "elementares" mas faltam "antiderivatives elementares", i.e., seus antiderivatives não são entre as funções consideradas ordinariamente em cursos first-year do cálculo. Nonetheless suas integrais impróprias sobre a linha real do todo podem ser avaliadas exatamente:

e^{-x^2}\ <math>\int_{-\infty}^\infty, dx=\sqrt{\pi}.</math>

Este cálculo pode ser executado pelo da análise complexa, mas lá é também uma maneira simples e instructive fazer o cálculo. Chame o valor desta integral I. Então,

<math>I^2 = e^{-x^2}\ \int_{-\infty}^\infty, e^{-(x^2+y^2)}\ dy = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty do dx e^{-y^2}\ \int_{-\infty}^\infty, dx\, dy.</math>

Anote o rebatismo da variável da integração de x a y (veja variável dummy). Nós mudamos agora ao plano coordenadas polares

<math>I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\, dr\, d\theta = 2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\, e^{-u}\ de dr=\pi\int_0^\infty, du=\pi.</math>

(a substituição u = r2, du = 2r Dr. foi usado.)

Aplicações

O antiderivative da função gaussian é .

As funções gaussian aparecem em muitos contextos dentro e , para o exemplo

  • Em e , aparecem como a função da densidade do , que é limitar de somas complicadas, de acordo com .
  • Uma função gaussian é função da onda do do .
  • usado dentro é das funções gaussian chamadas Orbitals gaussian (veja também jogo da base (chemistry)).
  • Matematicamente, a função gaussian joga um papel importante na definição do Polynomials de Hermite.
  • Conseqüentemente, as funções gaussian são associadas também com estado do vácuo em .
  • é usado em sistemas óticos e da microonda,
  • As funções gaussian são usadas como sementes pre-alisando em processar de imagem (veja espaço da escala respresentação).

Veja também

Função de Lorentzian

 

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