Equação de Schrödinger

Em , Equação de Schrödinger, proposto pelo austrian dentro , descreve de . É da importância central à teoria de mecânicos do quantum, jogando um papel analogous a dentro .

No , cada sistema é associado com o a tais que cada estado instantâneo do sistema está descrito por a vetor da unidade nesse espaço. Este vetor do estado codifica as probabilidades para os resultados de todas as medidas possíveis aplicadas ao sistema. Porque o estado de um sistema muda geralmente o tempo excedente, o vetor do estado é uma função do tempo. A equação de Schrödinger fornece uma descrição quantitative da taxa de mudança do vetor do estado.

Usar-se , nós denotamos esse vetor instantâneo do estado no tempo t perto |? (t)〉. A equação de Schrödinger é:

<math> \right\rangle do \psi do \left| de H(t) (t) = \psi \hbar do \left| de i {t \partial\over\partial} (t) \right\rangle</math>

onde i é , <math>\hbar</math> é dividiu-se por 2?, e hamiltonian H(t) é a operador do self-adjoint-adjoint agir no espaço do estado. O hamiltonian descreve o total do sistema. Como com que ocorre na lei do newton segundo, seu formulário exato não é fornecido pela equação de Schrödinger, e deve independentemente ser determinado baseado nas propriedades físicas do sistema.

Índices

Equação time-independent de Schrödinger

Para cada hamiltonian time-independent H, existe um jogo de estados do quantum, |?n>, sabido como eigenstates da energia, e números reais correspondentes En satisfendo à equação do eigenvalue

<math> |\psi_n(t)\rang De H = |\psi_n(t)\rang De E_n. </math>

Tal estado possui uma energia total definitiva, cujo valor En é o eigenvalue do vetor do estado com o hamiltonian. Esta equação do eigenvalue é consultada como ao equação time-independent de Schrödinger. Operadores do self-adjoint-adjoint como o hamiltonian tenha a propriedade que seus eigenvalues são sempre , porque nós esperaríamos desde que a energia é uma quantidade fisicamente observable.

Em introduzir a equação time-independent de Schrödinger na equação cheia de Schrödinger, nós começamos

<math> i {t \partial\over\partial} \right\rangle do \psi_n do \left| (t) = |\psi_n(t)\rang \hbar de E_n. </math>

É fácil resolver esta equação. Se encontra que os vetores do estado dos eigenstates da energia mudam somente por um complexo :

<math> \right\rangle do \psi do \left| (t) = e^{-i E t/} |\psi(0)\rang \hbar. </math>

Os eigenstates da energia são convenientes de trabalhar com porque seu time-dependence é assim simples; isso é porque a equação time-independent de Schrödinger é assim útil. Nós podemos sempre escolher um jogo de instantâneo eigenstates da energia cujo o estado vectors {|n>} dê forma a a para o espaço do estado. Então algum vetor do estado |?(t)> pode ser escrito como a de eigenstates da energia:

\quad do |n\rang do c_n(t) do <math>|\psi(t)\rang = do \sum_n, |n\rang do \quad H = de |n\rang de E_n \quad, \sum_n do \quad |c_n(t)|^2 = 1.</math>

(a última equação reforça a exigência que |?(t)>, como todos os vetores do estado, deve ser um vetor da unidade.) aplicando a equação de Schrödinger a cada lado da primeira equação, e usando o fato que os vetores da base da energia são pela definição linear independent, nós obtemos prontamente

t c_n}{\partial \frac{\partial <math>i\hbar} = c_n(t) de E_n.</math>

Conseqüentemente, se nós soubermos o decomposition de |? (t)> na base da energia no tempo t = 0, seu valor em toda a hora subseqüente são dados simplesmente perto

|n\rang </math> do <math>|\psi(t)\rang = do \sum_n e^{-iE_nt/\hbar} c_n(0);

Equação de onda de Schrödinger

O espaço do estado de determinados sistemas do quantum pode ser medido com a posicione a base. Nesta situação, a equação de Schrödinger pode convenientemente reformulated como a para a wavefunction, a campo escalar isso depende posição de functionamento as.well.as o tempo. Este formulário da equação de Schrödinger é consultado como ao Equação de onda de Schrödinger.

Os elementos da base da posição são chamados eigenstates da posição. Nós consideraremos somente um sistema da único-partícula, para que cada eigenstate da posição pode ser denotado perto |r>, onde a etiqueta r é um vetor real. Esta é ser interpretada como um estado em que a partícula é localizada na posição r. Neste caso, o espaço do estado é o espaço de todas as funções complexas quadrado-square-integrable.

O wavefunction

Nós definimos o wavefunction como projeção do vetor do estado |? (t)> na base da posição:

<math>\psi(\mathbf{r}, t) \mathbf{r} | \right\rangle </math> do \left\langle do \equiv do \psi(t);

Desde a posição os eigenstates dão forma a uma base para o espaço do estado, a integral sobre todos os operadores da projeção são :

\mathbf{r do \right| d^3 do \mathbf{r do \left\langle do \left|\mathbf{r}\right\rangle do <math>\int}} = \mathbf{I}.</math>

Esta indicação é chamada definição da identidade. Com este, e o fato que os kets têm a norma da unidade, nós podemos mostrar aquele

\psi(t) \rang</math> \; \left(\int \; \lang\mathbf{r}| do |\mathbf{r}\rang \; |\psi(t)\rang </math> do \right de d^3r);
\rang do \lang\mathbf{r}|\psi(t) do \mathbf{r}\rang \; d^3 r</math>
<math> = \int \; \psi(\mathbf{r}, * do t)^ \; \psi(\mathbf{r}, t) \; d^3r</math>
<math> = 1\;</math>

onde? (r, t) * denota o conjugate complexo de? (r, t). Este resultado importante diz-nos que o quadrado absoluto do wavefunction, integrado sobre todo o espaço, deve ser igual a 1:

<math> \int \; |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 \; d^3r = 1. </math>

Nós podemos assim interpretar o quadrado absoluto do wavefunction como densidade da probabilidade para a partícula a ser encontrada em cada ponto no espaço. Ou seja |? (r, t) | o d³r do ² é a probabilidade, no tempo t, de encontrar a partícula na região infinitesimal do d³r do volume que cerca a posição r.

Nós temos mostrado previamente que os eigenstates da energia variam somente por uma fase complexa enquanto o tempo progride. Conseqüentemente, o quadrado absoluto de seus wavefunctions não muda com tempo. Os eigenstates da energia correspondem assim às distribuições de estática da probabilidade.

Operadores na base da posição

Algum operador A agir no wavefunction é definido na base da posição perto

<math> Um \psi(\mathbf{r}, t) \lang\mathbf{r}| A do \equiv | \rang </math> do \psi(t);

Os operadores A nos dois lados da equação estão as coisas diferentes: esse nos atos direitos em kets, visto que esse dos atos esquerdos em campos escalares. É comum usar os mesmos símbolos denotar os operadores que agem em kets e as suas projeções em uma base. Geralmente, o tipo do operador a que um está consultando é aparente do contexto, mas deste é uma fonte possível da confusão.

Usando a notação da posição-base, a equação de Schrödinger pode ser escrita na base da posição como:

\psi(\mathbf{r} do <math>H, t) = \psi(\mathbf{r} \frac{\partial}{\partial \hbar de i t}, t) </math>

Este formulário da equação de Schrödinger é Equação de onda de Schrödinger. Pode-se parecer que este é , mas no fato o operador hamiltonian inclui tipicamente derivatives parciais com respeito à variável da posição r. Isto deixa-nos geralmente com um difícil linear a resolver.

equação de onda Non-non-relativistic de Schrödinger

Em , o hamiltonian de uma partícula podem ser expressados como a soma de dois operadores, uma que corresponde a e o outro a . Para uma única partícula de m com No. e No. , o operador cinético da energia é

<math> T = \frac{p^2}{2m}</math>

onde p é , definido como

<math> \psi(\mathbf{r do \mathbf{p}}, t) \psi(\mathbf{r do \nabla do \equiv {\over \hbar i}}, t) </math>

O operador potencial da energia é

<math> V = V(\mathbf{r})</math>

onde V é a do operador da posição r. Unindo estes, nós obtemos

<math>

\psi(\mathbf{r de H}, t) = (T + V) \, \psi(\mathbf{r}, t) = \left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + de \right de V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r ]}, t) = i t \psi}{\partial \frac{\partial \hbar} (\mathbf{r}, t) </math>

onde <math>\nabla^2</math> é Operador de Laplace. Este é um formulário geralmente encontrado da equação de onda de Schrödinger, embora não a mais geral.

A equação time-independent correspondente é

<math>

\left[ - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + De \right De V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r ]}) = \psi De E (\mathbf{r}) </math>

As generalizações relativistic desta equação de onda são , Equação de Klein-Gordon, Equação de Proca, Equações do maxwell etc., dependendo de e da partícula. Veja equações de onda relativistic para detalhes.

Correntes da probabilidade

A fim descrever como densidade da probabilidade mudanças com tempo, é aceitável definir corrente da probabilidade ou fluxo da probabilidade. O fluxo da probabilidade representa fluir da probabilidade através do espaço.

Para o exemplo, considere a Gaussian a curva da probabilidade centrou-se ao redor x0, imagine isso x0 mover-se em uma velocidade v para a direita. Então se pode dizer que a probabilidade está fluindo para a direita, i.e., há um fluxo da probabilidade dirigido à direita.

O fluxo da probabilidade j é definido como:

<math> \mathbf{j} = {\over \hbar m} \psi ^ do \left(do \cdot {1 \over {2 i}} {*} \psi do \nabla - \psi^{do \nabla do \psi *} \right) = {\over \hbar m} \right) do \psi do \nabla do \psi do \left(do \operatorname{Im} ^ {*} </math>

e medido nas unidades de (tempo do × de probability)/(area) = r?2t?1.

O fluxo da probabilidade satisf a um quantum equação da continuidade, i.e.:

<math> \mathbf{j do \cdot do \nabla} = {\over \partial t \partial} P(x, t) </math>

onde P(x, t) é densidade da probabilidade e medido nas unidades de (probability)/(volume) = r?3. Esta equação é o equivalente matemático de .

É fácil mostrar isso para a ,

<math> | \rang do \psi = de e^{i k de A e^{do x} - \omega t de i} </math>

o fluxo da probabilidade é dado perto

<math> j(x, t) = |A|^2 {\over \hbar m de k}.</math>

Soluções da equação de Schrödinger

As soluções analíticas da equação time-independent de Schrödinger podem ser obtidas para uma variedade de circunstâncias relativamente simples. Estas soluções fornecem a introspecção na natureza de fenômenos do quantum e fornecem às vezes uma aproximação razoável do comportamento de uns sistemas mais complexos (e.g., dentro , são aproximadas frequentemente como osciladores harmonic). Diversas das soluções analíticas mais comuns incluem:

Para muitos sistemas, entretanto, não há nenhuma solução analítica à equação de Schrödinger. Nestes casos, se deve recorrer para aproximar soluções:

Referências

  • Griffiths, David J. (2004). Introdução aos mecânicos de Quantum (ò ed.), Prentice Salão. ISBN 013805326X.
  • E. Schrödinger, Phys. Rev. 28 1049 (1926)

Ligações externas


 

  > Português > en.wikipedia.org (Traduzido por computador no português)